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夜限定で算数・数学の話でも

1 :107 ◆Dnhm9Q9euc @107 ★:2010/08/02(月) 02:15:28 ID:???
職権乱用とはこのこと。
怒られたらやめますし、朝になったらpool行き。

アニメ・漫画の掲示板にこんなふわふわした数学のスレッド。

2 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/02(月) 02:16:20 ID:CxxMdDsA
8月で頭がハイになった感じですかね。
以下、部分群の話。

3 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/02(月) 02:17:25 ID:CxxMdDsA
教科書は「代数学 永尾汎著」を使用しています。
記号は変えてありますが、基本的には内容は教科書に倣っています。

4 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/02(月) 02:31:27 ID:CxxMdDsA
定義:(オイラーの関数)
φ(n)=#{Z/nZにおける既約剰余類全体}
  =#{i∈Z|0≦i<n-1,gcd(i,n)=1}
をオイラーの関数という.

問9.6:
n=Σ[m|n]φ(m)を示せ.

まだ解けていません。解けたら書き込む感じで。

5 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/02(月) 04:58:51 ID:CxxMdDsA
>>4は持ち越し。

6 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 01:14:44 ID:Y+qiqMEo
>>4について.

問9.6(解)
まず,nまでの自然数はnとの最大公約数によって直和に分解できる,すなわち
{1,2,…,n}=∪_[m|n]{i|1≦i≦n,gcd(i,n)=m},(互いに素)
に注意する.各m|nに対して,
{i|1≦i≦n,gcd(i,n)=m}∋i|→i/m∈{i|1≦i≦n/m,gcd(i,n/m)=1}
が全単射な写像であることから,これらをあわせて,
n=#{1,2,…,n}=Σ_[m|n]#{i|1≦i≦n,gcd(i,n)=m}
 =Σ_[m|n]#{i|1≦i≦n/m,gcd(i,n/m)=1}=Σ_[m|n]φ(n/m)
 =Σ[m|n]φ(m).
よって示された.

7 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 01:34:13 ID:Y+qiqMEo
問9.7:
p:素数のとき,φ(p^e)=p^e-p^(e-1)を示せ.

解)
φ(p^e)=#{ i | 1≦i≦(p^e), gcd(i, (p^e))=1}
    =(p^e)-#{ i | 1≦i≦(p^e), gcd(i, (p^e))≠1}
    =(p^e)-#{p, 2p,…p^(e-1)*p}
    =p^e-p^(e-1).

尚,問9.6を用いて右辺を変形しても示せる.

8 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 01:39:02 ID:Y+qiqMEo
ETVで1:40から高校講座数学ありますね.
30分,息抜きに見ることにしますね。

9 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 01:43:19 ID:Y+qiqMEo
今日は余弦定理のようです.

定理:(余弦定理)
任意の三角形ABCに対し,次の等式が成立する.
a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cosA

正確にはこれは第二余弦定理ですね.

10 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 01:47:10 ID:Y+qiqMEo
例題1:
三角形ABCについて,b=2, c=1+3^(1/2), A=pi/3のとき,
辺aの長さを求めよ.

解)
余弦定理より
a^2=4 + 4 + 2*3^(1/2) - 2 * 2 * (1 + 3^(1/2)) * (1/2)
  =6
よってa > 0よりa=6^(1/2).

11 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 01:52:19 ID:Y+qiqMEo
私のタイピングと解答発表が同じスピード。
例題2:
三角形ABCについて,a=7, b=3, A=2pi/3のとき,
辺cの長さを求めよ.

解)
余弦定理より
7^2 =3^2 + c^2 -2*3*c*cos(2pi/3)
49=9 + c^2 +3c
整理して,c^2 + 3c - 40 = 0
    (c - 5)(c + 8)=0
c > 0よりc=5.

12 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 02:00:24 ID:Y+qiqMEo
この定理は,
三角形の二辺の長さとその間の角の角度がわかると他の一辺の長さが分かる
ことを意味していますが,これは中学校で扱う三角形の合同条件を式にしたものと
考えればこのような式の成立の予想はつくわけです.

例題3:
三角形ABCについて,a=√5, b=1, c=√2のとき,Aを求めよ.

解)
cosA=(1+2-5)/2*1*√2=-(1/√2)
よってA=3pi/4.

13 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 02:10:32 ID:Y+qiqMEo
cosA=(b^2 + c^2 - a^2 )/2bc
分母が常に正であることから,cosAの符号は分子で決まるわけです.

cosA > 0
⇔ b^2 + c^2 - a^2 > 0
⇔ b^2 + c^2 > a^2

などなど.
これは図式的には半円を描いて,その半円の直径を一辺とする三角形を描くと,
両端と新たに描かれる辺により作られる頂点により三角形をなすわけですが,
新たに作られる頂点が半円の弧に触れるかどうかにより視覚的に捉えられます.

14 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 02:13:05 ID:Y+qiqMEo
などと書いているうちにまとめが終わり、三角測量の話も終わってしまいました。

余弦定理は一般に計算が三角形に応じてやや煩雑になりますが,
適用範囲も広く,便利なので積極的に使えるようになることを
高校数学のこの範囲では目指していきます.

15 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 04:59:02 ID:Y+qiqMEo
定義:(正規部分群)
G:群,H<Gとする.
∀a∈Gに対して,a^(-1) N a=Nを満たすとき,
NをGの正規部分群という.

NがGの正規部分群のとき,右剰余類と左剰余類は一致する.
よって単にNの剰余類という.
G/Nの2つの元aN,bNについて積をとると,
(aN)(bN)=aNbN=abNN=abN
となるのでG/Nに積を定義でき,これによって群をなす.これをGのNによる剰余群という.

16 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 05:14:31 ID:Y+qiqMEo
例10.2:
アーベル群の任意の部分群は正規部分群である.

問10.3:
N<Gが, a^(-1) N a ⊂ N, ∀a ∈ Gを満たせばNはGの正規部分群である.

解)
∀a ∈ Gをとる.仮定より,
a^(-1) N a ⊂ N かつ (a^(-1))^(-1) N a^(-1) ⊂ N
が成立する.第二の式はN ⊂ a^(-1) N aと変形できるので,示される.

17 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/03(火) 23:54:27 ID:AzGV5c2A
今夜も華麗に復活。
書いているうちに教科書の版権が心配になってきたので、
かかれてあることをまとめていく感じに切り替えます。

18 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/04(水) 01:39:45 ID:pHrFy3mg
まとめ終わったところまで。

定義:(順同型写像)
G, G' :群
写像 f: G → G' が f(ab)=f(a)f(b), ∀a,b ∈ G を満たすとき,
fを順同型写像という.

また順同型写像が全単射のとき,同型写像という.
順同型写像に対し,2つの集合が定義できる.

定義:(Ker(f), Im(f))
Ker(f) := { x ∈ G | f(x) = e} :f の核,
Im(f) := f(G) :f の像
といいそれぞれ定義する.

19 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/04(水) 01:50:33 ID:pHrFy3mg
G, G', f はそれぞれ前述のものとする.
命題:(Ker, Im について)
1)Ker(f) = 1 ⇔ f は単射,
2)Ker(f) はGの正規部分群である,
3)Im(f) = G' ⇔ f は全射,
4)Im(f) はG'の部分群である.

∵)
1)(⇒)Ker(f) = 1 と仮定し,∀a,b ∈ G で f(a) = f(b) となっているものをとる.
両辺にf(b)^(-1)を右乗して, f(ab^(-1)) = e となるが,仮定より ab^(-1) = e.
よってa = b なのでfは単射である.
(逆向き)f(e)=eに注意すれば示せる.

20 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/04(水) 01:56:26 ID:pHrFy3mg
2)
Ker(f)が部分群であることはすぐに確かめられる.
正規部分群であることをしめす.
a^(-1) Ker(f) a ⊂ Ker(f), ∀a ∈ G
を示せば十分.∀x ∈ Ker(f), ∀a ∈ G をとる.
f(a^(-1) x a) = f(a^(-1)) f(x) f(a)
       =f(a^(-1))・1・f(a)
       =f(a^(-1)・a) = e.
よってa^(-1) Ker(f) a ⊂ Ker(f), ∀a ∈ Gが示された.

3)は定義そのもの.4)はすぐに確かめうる.

21 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/04(水) 02:02:55 ID:pHrFy3mg
順同型写像において,次の順同型定理は基本的である.

定理:(順同型定理)
G/Ker(f) と Im(f) には同型写像が存在する.

∵)
写像Fを次のように定義する.
F:G/Ker(f) ∋ [a] |→ f(a) ∈ Im(f)
このときFは写像としてwell-definedであり,同型写像である.
それは順を追えば確かめられる. ■

本来的にはしっかりと証明をつけるべき場面だが,
いつだったかこの掲示板のどこかでやって気がする….よって省略する.

22 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/04(水) 02:19:56 ID:pHrFy3mg
順同型定理によってわかること.

1)
< a >がaの位数がnの巡回群であれば, Z/nZ と < a >は群同型.
2)
Rを可換環とする.
det:GL(n, R) → R^× は全射準同型ゆえ,
GL(n, R)/SL(n, R) と R^×は群同型.

などなど.

23 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/07(土) 23:14:00 ID:S4vxrFhM
今日は復活。

24 :107@集合論 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 03:28:10 ID:fOvLiye6
集合論一撃必殺

現代の数学はもはや集合なしでは語れないものである。
ただ、今日から数回に分け取り扱う初等的(いかなる数学の分野においても使われる意味で)な
集合論は理解に苦しむ場面が多々あろう。
今回はなるべく複雑になる部分は差し引いて、カントール・ベルンシュタインの定理を
目標にしたいと考えている。
こうして文が長くなるものを後回しにすると後で苦しくなることを知りながら…。

25 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 03:34:04 ID:fOvLiye6
1 集合とは
集合とは「明確に区別できるものの集まり」のことである。

タイトルの内容は実はこの1行で説明できるが、その意味を書いていこうと思う。

上の説明において重要なのは「明確に」のところである。
例えば、「身長が180cmの人の集まり」は集合にできる。
なぜなら「身長180cm」はきちんと定義されているからである。
しかし、「おいしい食べ物の集まり」は集合にならない。
なぜなら「おいしい」が各個人の主観によってしまうからである。

26 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 03:42:30 ID:fOvLiye6
2 集合に関する記号
記号を持ち出すとアレルギーが出る方もいらっしゃるだろう。
しかし、この日本語も記号の一種で、こうして記号化することで
明確にかつ端的に意味を伝達できることからその重要性を認めていただきたい。

集合は基本的は{1, 2, 3}のようにして日本語で言うところの中括弧の中に、
その中身を書き並べることによって表現される。
中身を 元 または 要素 という。
上の例で言えば、1, 2, 3 はこの例の集合{1, 2, 3}の元というわけだ。

ところで、こうして「この例の集合{1, 2, 3}」といちいち言うのは大変だし、
複数の集合が出てきたときに混同する可能性があるのでA = {1, 2, 3}とラベルをつける。
よって「この例の集合{1, 2, 3}」は単に集合Aといえるわけだ。
集合はアルファベットの大文字A, B, C, …, X, Y, …であらわすことが多い。

27 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 03:52:27 ID:fOvLiye6
集合 A について a が A の元であることを、
a ∈ A
とあらわす。これは
A ∋ a
とも書き a は A に属す とか a は A に含まれる という。

集合A, Bについて。
A の全ての元が B に含まれるとき, A は B の部分集合 といい,
A ⊂ B または B ⊃ A
とかく。

A は B の部分集合でかつB は A の部分集合のとき、すなわち、
A ⊂ B かつ B ⊂ A
のとき、 AとBは等しい といい A = B と書く。

28 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 03:57:56 ID:fOvLiye6
>>27について一言二言。

・集合の元である∈と部分集合である⊂を混同する人が続出するので、
気をつけて欲しい。

・集合が等しいというのはすなわち「含み含まれあう」ことだということである。

・部分集合の定義における「A の全ての元が B に含まれる」は
「a ∈ A ⇒ a ∈ B」ということである。

・「A = B」はすなわち「a ∈ A ⇒ a ∈ B」かつ「b ∈ B ⇒ b ∈ A」を示すことである。

29 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 04:03:54 ID:fOvLiye6
言い忘れをはじめに補完しておく。
集合は大文字で表したが、その元は小文字で表すことが多い。
もうすでにその慣例にならって、文章を書いてしまっているが。

次に、実は集合は書き並べる必要は無いのだという話をしたい。
最初に集合というのは基本的には書き並べることだといったが、
実際には次のように書くことが多い。
 A = { x | x が満たすべき性質 }
これは x が満たすべき性質を満たすものは全部 A の元であるということである。
こう書くといったいに何がうれしいのか、それは次の例を通してみていきたい。

30 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 04:13:55 ID:fOvLiye6
それではこの書き方をする集合の具体例を挙げる。

N = { x | x は自然数}
Z = { x | x は整数}
Q = { x | x は有理数}
R = { x | x は実数}
C = { x | x は複素数}

ここから見えてくる書き並べなくてもいい記法のうれしさを見ていこう。
・どの集合も元が無限個あって書き並べるのは無理だが、この書き方ならかける
・割とすっきりと書ける(ことが多い)。
・あ、そういえば突然N, Z, Q, R, C 使いましたが、それは数学の慣例です。
全て英語またはドイツ語の頭文字から来ています。そしてこれからも使います。

31 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 04:24:22 ID:fOvLiye6
>>30の集合たちは本当は太文字で表す。

こうして、集合それ自体の定義は整備されてきたが、こんな集合もある。
 { }
元をひとつも持たない集合ももちろん集合で、これを 空集合 という。
これは特別に∅と名付ける。
実際はこうしてしっかりと空集合の記号が存在するが、
教科書なんかだと分かりやすくギリシャ文字のφで代用されていることが多いし、
私も変換のしやすさからこのφで代用していこうと思う。

以上をまとめると、φ = { } ということである。

32 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 04:42:42 ID:fOvLiye6
そのほかにも集合には雑多な定義があるが、
それは必要に応じて定義していきたい。

3 和集合と共通部分
A, B を集合とする。このとき次の概念が定義される。
A∪B = { x | x ∈ A または x ∈ B } を A と B の和集合(union) といい、
A∩B = { x | x ∈ A かつ x ∈ B } を A と B 共通部分(intersection)という。
高校では分かりやすくVenn図を使うことが多い。

有限個の集合ならばこうして書き並べればいいが、そうでないとき、
すなわちA_1, A_2, …, A_n, …という無限個の集合の列が与えられたとき、
これらのunionやintersectionを書き表す方法として、
∪_[n ∈ N] A_n = ∪_[n=1]^∞ A_n や、
∩_[n ∈ N] A_n = ∩_[n=1]^∞ A_n とあらわすことにする。 

33 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 04:55:01 ID:fOvLiye6
集合A, Bに対して、
A - B ={ x | x ∈ A かつ x は B に属さない }
を A から B を引いた差集合という。

私のようなものが取り扱う数学では、まずひとつ集合を与えて、
その上で理論を展開することがほとんどだ。
その「ひとつ与えた集合」を 普遍集合 といい、今回は X とあらわすことにする。

34 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/08(日) 04:58:12 ID:fOvLiye6
自分の目標であった、1時間半が来てしまいました。
次回は写像の概念から参ります。

35 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 00:17:40 ID:cjbnaTqk
4 写像の概念
A, B を集合とする。
各 a ∈ A に対して、ある b ∈ B を定める規則 f を写像という。
「f が A から B への写像である」を「f : A → B」とあらわす。
また上の b を f (a) と書く。

写像の具体例としては関数が挙げられる。
x ∈ R (実数の集合)に対して、関数 f (x) = x^2 は R の非負の集合への写像であるといえる。

写像にいろいろな条件をかすことによって、
それぞれの集合にどういう関係があるかを見ることが出来る。
写像に対し一般的に定義でき、重要な概念が単射、全射、全単射である。

36 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 00:28:27 ID:cjbnaTqk
定義:(単射、全射、全単射)
A, B を集合とし、f : A → B とする。
このとき
1) f が単射である ⇔ a, a' ∈ A かつ a ≠ a' ならば f (a) ≠ f (a'),
2) f が全射である ⇔ 任意の b ∈ B に対して,ある a ∈ A が存在してb = f (a) とあらわせる,
3) f が全単射である ⇔ f が全射かつ単射である

f が全射であることを言い表すのに、
f (A) = { f (a) ∈ B | a ∈ A } ( f の像という)
という表記法を使うと便利なことが多い。
>>29で | の左側には単に x だけ書いていたのに、今では f (a) ∈ B などと書いている。
これは同時に
・f (A) の元は全てある a ∈ A が存在して f (a) とあらわせる
・B の部分集合である
という2つのことが述べられる便利な略記法なのである。

37 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 00:35:18 ID:cjbnaTqk
この略記法によって、
f が全射である ⇔ f (A) = B
ともかけるのである。

単射、全射、全単射について大まかに言っておこう。
単射とは A の元が f により増減無く丸ごとうつせることを意味している。
さらにこれは行き先が常にバラバラであることも意味している。
全射とは B の情報が f によって捕らえられることを意味している。
全単射は A と B の元は一対一に対応することを意味する。

38 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 00:47:06 ID:cjbnaTqk
さていよいよ、カントール・ベルンシュタインの定理である。

定理:(カントール・ベルンシュタインの定理)
集合 A, B に対して、A から B への単射が存在し、かつ
B から A への単射が存在すれば、A から B への全単射が存在する。

つまりそれぞれが増減なく移しあえるならば、
元の一対一対応を作ることができるというわけだ。
というわけだ、といいつつこの構成法はと問われるとこのような証明になる。
次のレスから証明。

39 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 01:07:57 ID:cjbnaTqk
∵)
f : A → B を単射、g : B → A を単射とする。
f (A) ⊂ B に対して、B_1 = B - f (A) とおく。
以下、A_n = g (B_n), B_[n+1] = f (A_n), (n ∈ N) とおく。
その上で、
A_[*] = ∪_[n ∈ N] A_n, A^[*] = A - A_[*],
B_[*] = ∪_[n ∈ N] B_n, B^[*] = B - B_[*] と定める。
このとき、
f (A^[*]) = f (A) - ∪_[n ∈ N] f(A_n) = f (A) - ∪_[n ∈ N] B_[n+1]
f は単射でかつ B_1 = B - f (A) より f (A) =B - B_1 なので、
f (A^[*]) = B - ∪_[n ∈ N] B_[n] = B - B_[*] =B^[*].
また、
g (B_[*]) = ∪_[n ∈ N] g (B_n) = ∪_[n ∈ N] A_n =B_[*].
よってそれぞれ f は A^[*] から B^[*]への全単射であり、
g は B_[*] から A_[*] への全単射で特にこの B_[*] から A_[*] への全単射は
元が一対一対応していることから、A_[*] から B_[*] への全単射が作れる。
それを g^[-1] とおいて、写像 F : A → B を
a ∈ A が a ∈ A^[*] ならば F (a) = f (a) とし、a ∈ A_[*] ならば F (a) = g^(-1) (a)
と定めれば F が A から Bへの全単射である。 ■

40 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 01:17:03 ID:cjbnaTqk
>>39の証明において、B_1 = B - f (A) = φ ならば f が全単射なので終わっています。
よってB_1 = B - f (A) ≠ φ の場合を考えていることには注意しておくべきだった。

証明のキーは最初に f で A をうつしたときに B の元で f ではうつらなかったものの処理を、
A_n, B_n を定義してやることにある。

この証明が効く例を2,3あげて終わりにしよう。

41 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 01:39:33 ID:cjbnaTqk
例:
a, b ∈ R, a < b とする.
A = { x ∈ R | a ≦ x ≦ b },
B = { x ∈ R | a < x < b }とおく。
このとき, f : A → B を f (x) = (1/2)x + ( a + b )/4 , x ∈ A と定め、
g : B → A を g (x) = x と定めるといずれも単射。
よって、カントール・ベルンシュタインの定理よりA から B への全単射が存在する。

2,3も挙げられなかったことを恥じつつ。
この定理は一体何かというと、実は集合の濃度が順序集合であることを示す際に使われたり、
上で挙げたような具体例にも適用される、集合論ではじめに習う有名な定理なのだ。
だからこそ自分の言葉でまとめておきたかったわけで、
まとめるという意味では達成できたのではないかと思う。
ただ若干の数学用語の説明をせずに来てしまった部分もあるので、
次回このような形式で進める際には気をつけたいと考えている。

42 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/09(月) 03:30:13 ID:cjbnaTqk
それではまた明日。

43 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 22:49:24 ID:0McISODo
それではといってから2週間。ここに復活。

最近、大人の数学が流行っているようですね。
偶然にも世の中の流れに乗ってしまった(?)みたいで。

今日は高校レベルの数列でも。

44 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 22:55:21 ID:0McISODo
数列とは、書いて字のごとく数を並べて列にしたものです。
実例を挙げると
1, 2, 3, …
とか
1421, 4232, 51253, …
みたいなものです。数が並べば数列なんです。

でも高校で学ぶ数列はでたらめに並んだ数列ではなく、
一定の規則をもった数列を学ぶことになります。
さて、それでは数列の初歩からはじめようと思います。

45 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 23:07:30 ID:0McISODo
1 数列の書き表し方

数列は>>44であげたように、実際に数を並べてもよいのですが、
a_[1], a_[2], a_[3], …, a_[n], …
として一般的にあらわすことができます。(紙に書くときは、aの右下に数字を添える)
それぞれの a_[n] を数列の 第 n 項 と呼びます。
つまり、a _[1] は 第1項、a _[2] は 第2項、のようにいいあらわすのです。
そして、もちろん a ばかりでなく b や c を使ってもあらわせます。

ところでこの数列の勉強は何を目的に行うかというと、
任意の n に対して a_[n] を n を含んだ式によってあらわすことにあるのです。
この a_[n] を数列の 一般項 といいます。
ここで、数列 a_[1], a_[2], a_[3], …, a_[n], … を
一般項を用いて{ a_[n] }とかけることに注意しておきます。

46 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 23:14:18 ID:0McISODo
また a_[1] を数列 { a_[n] } の 初項 とよび、
もし数列の個数が有限個であれば、その最後の数を 末項 といいます。

47 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 23:19:29 ID:0McISODo
2 等差数列

1, 3, 5, 7, …

-4, -1, 2, 5, …
のような数列は観察すると、第 n 項に一定の数をたすと、
第 (n + 1) 項になっていることが分かります。
上の数列は +2 することで、下の数列は +3 することでとなりの数が得られています。
このように隣との差が一定の数列を 等差数列 といいます。

48 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 23:25:59 ID:0McISODo
実際に確かめてみましょう。
上の数列の場合
3 - 1 = 2, 5 - 3 =2, 7 - 5 = 2, …
下の数列の場合
(-1) - (-4) = 3, 2 - (-1) = 3, 5 - 2 = 3, …

等差数列において、この等しい差を 公差 とよびます。

49 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 23:38:09 ID:0McISODo
さて、等差数列の一般項を求めましょう。
{ a_[n] } を等差数列とし、その初項と公差をそれぞれ a, d とおきます。
任意の n に対して
a_[n] - a[n - 1] = d,
a_[n - 1] - a[n - 2] = d,
a_[n - 2] - a[n - 3] = d,

a_[3] - a[2] = d,
a_[2] - a[1] = d,
が成り立つので、左辺どうし、右辺どうしたし合わせてみると、
左辺は a[n - 1], a[n - 2], …a_[2] が相殺して、a_[n] - a_[1]が得られ、
右辺は式の個数が ( n - 1 ) 個なので、( n - 1 )d が得られるので、
a_[n] - a_[1] = ( n - 1 )d
ところで、a_[1] は初項であり a なので、一般項は、
a_[n] = a + ( n - 1 )d
となる。これが等差数列の一般項である。

50 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/22(日) 23:44:29 ID:0McISODo
例にあてはめて見ましょう。
1, 3, 5, 7, …の場合
この数列は初項が 1 、公差が 2 の等差数列なので一般項 a_[n] は
a_[n] = 1 + (n - 1)・2 = 2n - 1
である。

-4, -1, 2, 5, …の場合
この数列は初項が -4 、公差が 3 の等差数列なので一般項 a_[n] は
a_[n] = -4 + (n - 1)・3 = 3n - 7
である。

次回は等差数列の初項から第 n 項までの和(足し算)はどうなるかを求めます。

51 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/27(金) 04:01:15 ID:BGeDgS52
ふと思い出したので。

定理:(線分上の不動点定理)
f : [a, b] → [a, b] を連続関数とする.
そのときにある c ∈ [a, b] で f ( c ) = c となる点 c が存在する.

(証明)
g (x) = f (x) - x として[a, b]上の関数 g を定める.
仮定より g は連続関数である.
ここで, a ≦ f (a) ≦ b, a ≦ f (b) ≦ b, であることに注意すると,
g (b) ≦ 0 ≦ g (a) となる.
g (a) = 0 または g (b) = b ならば f (a) = a または f (b) = b ゆえ示される.
そこでここでは g (a) ≠ 0 かつ g (b) ≠ b とすると,
g (b) < 0 < g (a) となるので連続関数における中間値の定理より,
ある c ∈ [a, b] で g ( c ) = 0 となる点 c が存在する.
この c について f (c) - c = 0 であるから示される. ■

52 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/27(金) 04:03:32 ID:BGeDgS52
>>51ミスしてました…。
× g (b) = b
○ g (b) = 0
そのしたの行の = を ≠ に置き換えたものも b ではなく 0 です。
失礼しました。

53 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/27(金) 04:28:34 ID:BGeDgS52
>>50の続き

3 等差数列の和
数列 { a_[n] } を 初項 a , 公差 d の等差数列とします。
このとき、初項から第 n 項までの和(足し算)はどうなるでしょうか。
これが分かると例えば、1 + 2 + 3 + … + 1000 も計算できるようになりますね。
さて方針は、ガウスの逸話で有名な方法とまったく同じように示します。

54 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/27(金) 04:40:13 ID:BGeDgS52
初項から第 n 項までの和を S とおきます。
そのとき、
S = a_[1] + a_[2] + a_[3] + … + a_[n]
 = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (n-1)d)
ですね。ここで発想の転換なのですが、
S = a_[n] + a_[n-1] + a_[n-2] + … + a_[1]
 = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + (a + (n-3)d) + … + a
でもあることに注意します。ここで辺々足すのです。
2S = (a_[1] + a_[n]) + (a_[2] + a_[n-1]) + (a_[3] + a_[n-2]) + … + (a_[n] + a_[1])
  =(a + a + (n-1)d) + (a + d + a + (n-2)d) + (a + 2d + a + (n-3)d) + … + (a + (n-1)d + a)
  =(2a + (n-1)d) + (2a + (n-1)d) + … + (2a + (n-1)d) (← 同じのが n 個あらわれている!)
  =n(2a + (n-1)d)
したがって、両辺2で割って
S = (1/2)n(2a + (n-1)d)
となります。ここで見方を変えると
S = (1/2)n(a + (a + (n-1)d))
なので
S = (1/2)n(a_[1] + a_[n])
とも見られます。つまり初項と末項が分かったらそれらを足して n 倍して 2 で割ればいいんですよ。

55 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/27(金) 04:48:25 ID:BGeDgS52
早速、1 + 2 + 3 + … + 1000に使ってみましょう。
この和を S とおくと、
S = (1/2)・1000・(1 + 1000) (数列の個数は 1000 個、初項は 1 、末項は 1000)
 =500500

ガウスは小学生のときにこれを1から100までの場合に適用して、
一瞬で5050をだして先生をびっくりさせたようです。
まあ、先生じゃなくてもびっくりですけど。

それはそうと、この公式を奇数の数列に適用するとなかなか面白い結果が得られます。
奇数の第 n 項は 2n -1 であることに注意すると、その和 S は
S = (1/2)n(1 + 2n - 1) = n^2
です。まさかの n^2 ですよ。この結果をみて高校生の私はいたく感動したのです。
…どうでもいいですか。失礼しました。
納得できない方へ…。一応。
1 = 1^2, 1 + 3 = 4 = 2^2, 1 + 3 + 5 = 9 =3^2, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2, …

56 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/27(金) 05:00:33 ID:BGeDgS52
さて、1 + 2 + … + n についてもこの公式を適用して、
それも公式として記述しておきましょう。
この数列は初項が 1, 末項が n の等差数列なので、その和 S は
S = (1/2)n(1 + n)
として得られます。

かなりのつめこみ教育ですが、ここで新しい記号を導入します。
数列(別に等差数列である必要は無い。){ a_[n] } の第 n 項までの和 S は
S = a_[1] + a_[2] + a_[3] + … + a_[n]
とかけるわけですが、これを毎回書くのは案外面倒ですよね。そこで
この数列{ a_[n] } の第 n 項までの和 S を
S = Σ_[k = 1]^[n] a_[k]
とここではあらわします。
紙の上ではシグマ記号を大きく書いてその上と下にそれぞれ、「n」「k = 1」と書きます。
実際に書き表されている例はWikipediaなどを参照してください。
ここで a_[k] などの添え字 k は何でもよくて、
S = Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = Σ_[i = 1]^[n] a_[i] = Σ_[j = 1]^[n] a_[j]
などとかいてもかまいません。が、よく k, i, j が使われます。

57 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/27(金) 05:07:32 ID:BGeDgS52
ここまでの等差数列の公式をひとまとめにして今日は終わりにします。

数列{ a_[n] }が初項 a ,公差 d の等差数列のとき
一般項 a_[n] = a + (n-1)d (参照>>49)

等差数列の和
Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = (1/2)n(2a + (n-1)d))
           = (1/2)n(a_[1] + a_[n]) (参照>>54

具体例で覚えるべきもの
Σ_[k = 1]^[n] k = (1/2)n(n + 1) (参照>>56),
Σ_[k = 1]^[n] (2k - 1) = n^2  (参照>>55).

58 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/28(土) 00:49:37 ID:uOfo29mg
4 等比数列

1, 2, 4, 8, …

-5, 10, -20, 40, …
のような数列を観察してみると、
第 n 項に一定の数をかけると、第 (n+1) 項になっています。
上の数列は ×2 することで、下の数列は ×(-2) することで得られています。
このように隣との比、つまり商が一定の値になる数列を 等比数列 といいます。

実際に確かめてみましょう。
上の数列は、
2 / 1 = 2, 4 / 2 = 2, …
下は
10 / (-5) = -2, -20 / 10 = -2, …

等比数列において、この等しい比を 公比 とよびます。

59 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/28(土) 00:50:08 ID:uOfo29mg
等差数列のときと話の流れが一緒なので、お気づきだと思いますが、
ここからは等比数列の一般項を求めてみましょう。
{ a_[n] } を等比数列とし、その初項と公比をそれぞれ a, r とおきます。
任意の n に対して、{ a_[n] } が等比数列なので
a_[n] / a_[n-1] = r,
a_[n-1] / a_[n-2] = r,

a_[3] / a_[2] = r,
a_[2] / a_[1] = r,
が成り立ちます。そこで左辺どうし、右辺どうしかけ合わせてみましょう。
左辺は a_[n-1], a_[n-2], …, a_[2] が約分され、a_[n] / a_[1] となります。
右辺は r を (n-1) 回かけるので、r^(n-1) となります。
これらをあわせて
a_[n] / a_[1] = r^(n-1)
a_[1] = a (初項)なので,
a_[n] = a・r^(n-1)
が得られます。これが等比数列の一般項となります。

60 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/28(土) 00:51:08 ID:uOfo29mg
5 等比数列の和
{ a_[n] } を初項 a, 公比 r の等比数列とします。
このとき、Σ_[k = 1]^[n] a_[k](初項から第 n 項までの和。>>56参照)はどうなるでしょうか。

ところで r = 1 のときは、a + a + … + a = na なので一瞬でけりがつきます。
なので、r ≠ 1 とします。
S = Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = Σ_[k = 1]^[n] a・r^(k-1)
 = a + a・r + a・r^2 + … + a・r^(n-2) + a・r^(n-1)
とおいて、両辺を r 倍します。すると、
r・S = Σ_[k = 1]^[n] a・r^k
   = a・r + a・r^2 + a・r^3 + … + a・r^(n-1) + a・r^n
辺々ひくと、右辺で a・r, a・r^2, …, a・r^(n-2), a・r^(n-1) が相殺して、
S - r・S = a - a・r^n
(1 - r)S = a・(1 - r^n)
r ≠ 1 だったので、両辺を (1 - r) で割りましょう。そうすれば
S = a・(1 - r^n) / (1 - r)
となります。こうして和が得られました。なかなか巧妙な方法ですよね。

61 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/28(土) 00:52:33 ID:uOfo29mg
見やすいように以上をまとめておきます。
数列{ a_[n] } が初項 a, 公比 r の等比数列の場合
一般項 a_[n] = a・r^(n-1) (参照>>59)

等比数列の和
Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = a・(1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1 のとき)
           = na (r = 1 のとき)
(参照>>60

62 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/28(土) 20:00:20 ID:hCQbbITQ
円周率 π = pi の値を計算で求めるときに、
収束が早く、よく使われる公式にMachinの公式があります。

公式:(Machinの公式)
pi / 4 = 4Arctan(1/5) - Arctan(1/239).

求め方
1 / 5 = tan(a), 1 / 239 = tan(b) とおきます。
主値をとることにすれば、
a = Arctan(1/5), b = Arctan(1/239).
よって、tan(4a -b) = 1 を示せばよいことが分かります。
そのために tan(4a) を求めます。二倍角の公式を繰り返し用いると、
tan(2a) = 2tan(a)/( 1 - tan^2(a) ) = 5 / 12,
tan(4a) = 2tan(2a)/( 1 - tan^2(2a) ) = 120 / 119
となります。これらから、
tan(4a - b) = ( tan(4a) - tan(b) )/( 1 - tan(4a)tan(b) )
      = ( (120 / 119) - (1 / 239) )/( 1 - (120 / 119)(1 / 239) )
      = 1.
よって示されました。

63 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 03:25:36 ID:VjqPmsko
5 階差数列

等差数列、等比数列は数列の基礎基本で、
一般項を求めることや、その和を求めることをマスターするのはあっという間だと思います。
高校レベルの数列で複雑になってくるのはこの階差数列からです。

いつものようにまずは階差数列の具体例をごらんいただきましょう。
{ a_[n] } : 1, 7, 18, 34, 55, …
この数列はどのような規則性で並んでいるでしょうか。

64 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 03:26:07 ID:VjqPmsko
等比数列にはなりそうにないですね。実際、となりあった数の比はバラバラです。
それでは、等差数列だ、と考え隣り合った数の差を求めてみます。
7 - 1 = 6, 18 - 7 = 11, 34 - 18 = 16, 55 - 34 = 21, …
つまり、
{ b_[n] } : 6, 11, 16, 21, …
ですから、差は一定ではないので、元の数列{ a_[n] }はもちろん等差数列ではありません。
しかしながら、この元の数列の隣り合った数の差の数列{ b_[n] }は、初項 6, 公差 5 の等差数列になっていますね。
この元の数列の隣り合った数の差の数列{ b_[n] }を 階差数列 と呼びます。
上の例からも分かるとおり、この b_[n] は
b_[n] = a_[n+1] - a_[n], n = 1, 2, 3, …
として定義されます。
そして、この階差数列を用いることで、元の数列の一般項が求められる場合があります。

65 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 03:26:38 ID:VjqPmsko
なぜか、というと>>49と似たような手順を踏むことで分かります。
数列{ a_[n] }に対して、その階差数列を{ b_[n] }とします。
階差数列の定義から、b_[n] = a_[n+1] - a_[n], n = 1, 2, 3, …
なので、任意の n ≧ 2 に対して
a_[n] - a_[n-1] = b_[n-1],
a_[n-1] - a_[n-2] = b_[n-2],

a_[3] - a_[2] = b_[2],
a_[2] - a_[1] = b_[1]
となります。>>49と同じように左辺どうし、右辺どうし足し合わせてみます。
左辺は>>49と全く一緒でa[n - 1], a[n - 2], …a_[2] が相殺して、a_[n] - a_[1]が得られます。
右辺は Σ_[k = 2]^[n] b_[k-1] があらわれます。
つまりこの右辺の和が求められるなら、
すなわち今の状況なら b_[n] が等差数列または等比数列ならば
その和は求めてあるので a_[n] = a_[1] + Σ_[k = 2]^[n] b_[k-1] として a_[n] が求められます。
注意としては、n ≧ 2 として求めたので、 n = 1 のときは保障されないということです。

66 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 03:28:35 ID:VjqPmsko
理論はこのくらいにして、実際に先ほどの例に当てはめて見ましょう。

数列{ a_[n] } : 1, 7, 18, 34, 55, …
に対してその階差数列 { b_[n] } は
{ b_[n] } : 6, 11, 16, 21, …
という初項 6, 公差 5 の等差数列なのでその一般項は b_[n] = 6 + (n - 1)・5 = 5n + 1 です。
つまり、a_[k] - a_[k-1] = 5(k-1) + 1 = 5k - 4 なので、
両辺を k = 2, 3, …, n (n ≧ 2)について足すと、
a_[n] - a_[1] = Σ_[k = 2]^[n] (5k - 4)
なので、等差数列の和の公式を利用し、整理すると、
a_[n] = 1 + (1/2)(n - 1)(5n + 2) = (n/2)(5n - 3) , n ≧ 2
となります。ところでこの式において n = 1 としてみると
a_[1] = (5/2) - (3/2) = 1
となって偶然一致しています。この偶然をもって数列{ a_[n] }の一般項は
a_[n] = (n/2)(5n - 3)
と結論付けることが出来るのです。
先ほどの注意のとおり、この方法で求めた a_[n] は n = 1 のときは保障されないので吟味が必要なのです。

67 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 03:29:06 ID:VjqPmsko
「見かけ上何の規則性もないように見える数列は階差数列を求めてみる」
これが高校数学の数列の技のひとつです。
階差数列の問題は奥が深くて、階差数列を1度とるだけでは分からず、
もう一度その階差数列の階差数列をとることで元の数列の一般項が分かるものもあります。
計算は数列独特のワンパターンな計算なんですが、
ひいてたして、吟味してと段階を踏むので混乱しがちです。
これは訓練を繰り返すことで慣れていくしかないと思います。

68 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 03:39:53 ID:VjqPmsko
今後の予定
6 数列の和が与えられている場合の一般項
7 その他の数列の一般項
7.1 部分分数分解
7.2 一般項が(等差)・(等比)となっているときの和
8 漸化式
8.1 漸化式とは
8.2 隣接二項漸化式
8.3 隣接三項漸化式
9 数学的帰納法

69 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 19:26:47 ID:TWo79ZRI
6 数列の和が与えられている場合の一般項

今までの話は数列{ a_[n] }が与えられたとき、
その和を求めるということをしてきました。
それでは逆に、和が与えられたとき元の数列の一般項はどうやったら求められるでしょうか。

数列{ a_[n] }に対して、第 n 項までの和を S_[n]とおきます。すなわち、
S_[n] = a_[1] + a_[2] + … + a_[n-1] + a_[n] = Σ_[k = 1]^[n] a_[k].
ところで、n ≧ 2 のとき、
S_[n-1] = = a_[1] + a_[2] + … + a_[n-1] = Σ_[k = 1]^[n-1] a_[k]
なので、S_[n] と S_[n-1] の関係は
S_[n] = S_[n-1] + a_[n]
です。すなわち、S_[n] の正体がはっきりしていれば、a_[n] (n ≧ 2)は
a_[n] = S_[n] - S_[n-1]
で求められるのです。
最後に、a_[1] はどうするのかといいますと、S_[n] の置き方から、
S_[1] = a_[1]
です。これで完全に数列{ a_[n] }が求められました。

70 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/29(日) 19:27:31 ID:TWo79ZRI
例を通して確認してみましょう。数列{ a_[n] }の和{ S_[n] }が
{ S_[n] } : 1, 8, 21, 40, 65, …
で与えられているとき、数列{ a_[n] }の一般項を求めましょう。
S_[n] の規則性を調べるために、S_[n] の階差数列を求めます。
7, 13, 19, 25, …
これは、初項 7, 公差 6 の等差数列です。よって、S_[n] の一般項は
S_[n] = 1 + Σ_[k = 2]^[n] (7 + 6(k - 2)) = 3n^2 - 2n.
したがって、n ≧ 2 のとき、a_[n] は
a_[n] = (3n^2 - 2n) - (3(n - 1)^2 - 2(n - 1))
   =6n - 5.
また、a_[1] = S_[1] = 1 となりまして、
これは n ≧ 2 のときの一般項 a_[n] に n = 1 を代入したものに一致します。
したがって、 a_[n] = 6n - 5 となります。

71 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/30(月) 22:59:54 ID:eR2p6rQA
7 その他の数列の一般項
7.1 部分分数分解
ある特殊な分数の和については、簡単に出来る場合があります。

Σ_[k = 1]^[n] 1/(k・(k + 1))
= 1/(1・2) + 1/(2・3) + … + 1/(n・(n + 1))
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + … + (1/n - 1/(n + 1))
=1 - (1/(n + 1))

このように分数を分数の差に分解して和を求める手法はよく使われます。
これを部分分数分解といいます。

72 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/08/30(月) 23:00:25 ID:eR2p6rQA
7.2 一般項が(等差)・(等比)となっているときの和
タイトルの意味をまず具体例で見てみましょう。

a_[n] = (3n - 2)・2^(n-1) として第 n 項までの和 S_[n] 、すなわち
S_[n] = (3・1 - 2)・1 + (3・2 - 2)・2^1 + (3・3 - 2)・2^2 + … + (3n - 2)・2^(n-1)
を求めよ。

これが問題です。どうするのかというと、等比数列の和を求めたようにしてやるのです。
まず、一般項 a_[n] が等差数列と等比数列の積であることに注目して、
等比数列側の公比を S_[n] の両辺にかけます。今回は 2 なので、
2・S_[n] = (3・1 - 2)・2 + (3・2 - 2)・2^2 + (3・3 - 2)・2^3 + … + (3n - 2)・2^n
辺々引くと、
S_[n] - 2・S_[n] = 1 + 3・(2 + 2^2 + … 2^(n-1)) - (3n - 2)・2^n
- S_[n] = 1 + 6・(2^(n-1) - 1) - (3n - 2)・2^n
よって、
S_[n] = (3n - 5)・2^n + 5
が得られました。
要約すれば、等差数列と等比数列(公比 r )の積は S_[n] - r・S_[n] を計算すればいいのです。

73 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/08(水) 05:40:22 ID:IMhn2lLo
8 漸化式
数列の第 n 項が第 1, 2, …, n-1 項によって決まるようなものがある。
等差数列や等比数列もこの仲間である。なぜなら
等差数列 {a_[n]} の 初項を a, 公差を d とすると、a_[1] = a, a_[n+1] = a_[n] + d
とあらわせる。また、
等比数列 {b_[n]} の 初項を b, 公比を r とすると、b_[1] = b, b_[n+1} = r・b_[n]
とあらわせるからである。

高校レベルの話であれば、高々2、3項の簡単な漸化式しか扱いませんし、
もっといえば手計算ではその程度しか求められないと思います。

74 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/08(水) 05:40:56 ID:IMhn2lLo
8.1 隣接二項漸化式
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2.
これを隣接二項漸化式といいます。
このような漸化式の一般項を求めてみようというのがこの節です。
ご覧のとおり、等比数列とも等差数列ともいいがたい形をしています。
なのでいままでのような方法では求めることは出来ません。

ここから、特性方程式を使って求める方法を紹介します。
与えられた漸化式において a_[n+1] = 3a_[n] + 2 の a_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考えます。
c = 3c +2
与えられた漸化式からこの式を辺々引いてみましょう。
a_[n+1] - c = 3a_[n] - 3c
つまりこれは、a_[n+1] - c = 3(a_[n] - c) なので、{a_[n] - c} を数列と見れば、等比数列です。
c = 3c +2 は一次方程式なので解くと、c = -1 です。
以上をまとめると、{a_[n] + 1} は初項 a_[1] + 1 = 2 + 1 = 3, 公比 3 の等比数列です。
等比数列の一般項は a_[n] + 1 = 3・3^(n-1) = 3^n であり、これより元の数列の一般項が
a_[n] = 3^n - 1 として得られます。

…まあ、知らなければ解けない方法ですね。逆に知っていれば一撃です。

75 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/08(水) 06:10:04 ID:IMhn2lLo
はみ出し - 隣接二項漸化式〜こんなときどうする?〜
1)
数列 {a_[n]} が次のようにあたえられているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2^n.
このときは、両辺を2^(n+1)で割ってみれば、
(a_[n+1] / 2^(n+1)) = (3/2)(a_[n] / 2^n) + (1/2)
なので、b_[n] = a_[n] / 2^n とおくと、
b_[1] = a_[1] / 2 = 1, b_[n+1] = (3/2)b_[n] + (1/2)
これは>>74の形なので解けます。

2)
数列 {a_[n]} が次のようにあたえられているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2n + 5.
これは a_[n+1] = 3a_[n] + 2n + 5 の番号を一つ次にずらすのです。
a_[n+2] = 3a_[n+1] + 2(n+1) + 5
辺々下から上を引きましょう。
a_[n+2] - a_[n-1] = 3(a_[n+1] - a_[n]) + 2
数列 {a_[n+1] - a_[n]} は>>74の形なので解けます。
一般に>>74の + 2 の部分が n に関する一次式の形であれば同様に解けます。

76 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/08(水) 06:10:36 ID:IMhn2lLo
3)
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 1/2, a_[n+1] = 2a_[n] / (a_[n] +1).
所謂分数形です。
これはa_[1] > 0 なので全ての n に対して a_[n] ≠ 0 に注意して、両辺の逆数をとりましょう。
1/a_[n+1] = (1/2)・(1 / a_[n]) +(1/2)
数列 {1/a_[n]} は>>74の形なので解けます。

4)
分数形をもうひとつ。
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 1/2, a_[n+1] = (2a_[n] + 1) / (a_[n] + 2).
この場合は>>74のようにa_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考えると、
c = (2c + 1) / (c + 2) ですがこれは c + 2 を払うと二次方程式になりますね。
二次方程式の解は 1, -1 ですが、a_[n+1] = (2a_[n] + 1) / (a_[n] + 2) の両辺から 1 を引きましょう。
すると a_[n+1] - 1= (a_[n] - 1) / (a_[n] + 2) = (a_[n] - 1) / (a_[n] - 1 + 3)
これは、a_[n] - 1 をひとかたまりにみると、3)の形なので解けます。

などなど隣接二項漸化式には色々なパターンがありますが、
基本は>>74や4)のようにa_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考える、
2)のように一つ次にずらして元のから引くというところでしょう。

77 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/09(木) 03:17:47 ID:kehtxu9w
8.2 隣接三項漸化式
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[2] = 3, a_[n+2] - 3a_[n+1] + 2a_[n] = 0.
このような形の漸化式を隣接三項漸化式といいます。

これを解くには次の二次方程式を考えます。
c^2 - 3c + 2 = 0
作り方は a_[n+2] を c^2 に、a_[n+1] を c に、a_[n] を 1 に変えたものです。解を求めましょう。
(c - 1 )(c - 2) = 0
c = 1, 2.
これからどうやって求めるかというと、この解から
a_[n+2] - 3a_[n+1] + 2a_[n] = 0
a_[n+2] - (1 + 2)a_[n+1] + 1・2a_[n] = 0
なので、
a_[n+2] - a_[n+1] = 2( a_[n+1] - a_[n] ) ,
および
a_[n+2] - 2a_[n+1] = a_[n+1] - 2a_[n] ,
と二通り変形できることに着目します。
上の式は数列 { a_[n+1] - a_[n] } が初項 1, 公比 2の等比数列なので一般項は、a_[n+1] - a_[n] = 2^(n-1).
下の式は数列 { a_[n+1] - 2a_[n] } が初項 -1, 公比 1の等比数列なので一般項は、a_[n+1] - 2a_[n] = -1.
上から下を引くと、a_[n] = 2^(n-1) + 1 なので一般項が求められます。

まとめると、与えられた漸化式から作り出した二次方程式の解が、
異なる二つの解であれば式を変形して二通りの等比数列を作ればよいのです。

78 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/09(木) 03:18:47 ID:kehtxu9w
では、二次方程式の解がひとつの場合にはどうするのでしょうか。
具体例で考えてみましょう。
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[2] = 3, a_[n+2] - 6a_[n+1] +9a_[n] = 0.

c^2 - 6c + 9 =0 は c = 3 で重解なので与えられた漸化式は
a_[n+2] - 3a_[n+1] = 3(a_[n+1] - 3a_[n])
とだけ変形できます。
これは数列 { a_[n+1] - 3a_[n] } が初項 -3, 公比 3 の等比数列ということがわかるので、
一般項が a_[n+1] - 3a_[n] = (-3)・3^(n-1) であらわせることを意味します。
ところで、この形は>>75の1)の形、すなわち隣接二項漸化式です。
よって両辺を 3^(n+1) で割ると>>74の形なので解けます。

実はこの節の最初で取り扱った漸化式もこの方法で解けます。
このように二次方程式を立ててから解くタイプの問題は、
隣接二項漸化式に帰着可能なので>>74-76のいずれかで解けます。

79 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/09(木) 03:46:35 ID:kehtxu9w
9 数学的帰納法
全ての自然数 n に対して
1 + 2 + 3 + … + n = (1/2)n(n + 1)
ということを等差数列の和の公式から導きました。(>>56参照)

それではこの公式を使わずに証明するにはどうすればいいでしょうか。
ひとつの方法として数学的帰納法を用いる方法があります。

数学的帰納法とは…
自然数 n についての命題 P(n) が与えられたとします。
1) P(1) で成立する,
2) P(k) で成立すると仮定すると、P(k+1) で成立する
この二段が示されたとすると全ての自然数で成立することが示されます。
なぜなら P(1) で成立するので、2)によって P(2) で成立します。
P(2) で成立するので、2)によって P(3) で成立します。
P(3) で成立するので、2)によって P(4) で成立します。
…これが延々と全ての自然数でいえることから、全ての自然数で成立することがわかるのです。
学校ではドミノ倒しのように…などといわれる話です。

80 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/09(木) 03:47:08 ID:kehtxu9w
早速、1 + 2 + 3 + … + n = (1/2)n(n + 1) を示してみましょう。
(証明)
左辺を S_[n] とおきます。
1)
n = 1 のときは、S_[1] = 1 であり、右辺は (1/2)・1・(1 + 1) = 1 なので成り立っています。
2)
n = k のとき、S_[k] = (1/2)k(k + 1) が成り立つと仮定します。
n = k+1 のときは
S_[k+1] = 1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) (左辺をそのまま書き下した)
     = S_[k] + (k+1) (S_[k] = 1 + 2 + 3 + … + k に着目した)
     = (1/2)k(k + 1) + (k+1) (数学的帰納法の仮定)
     = (k+1)( (1/2)k + 1 ) ( (k+1) でくくった)
     = (1/2)(k + 1)(k + 2)
これは S_[n] = (1/2)n(n + 1) の n に k+1 を代入したものになっています。
つまり n = k + 1 で成立することが分かります。
以上1)、2)によって全ての自然数で成立することが示されました。 ■

81 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/09/09(木) 04:06:45 ID:kehtxu9w
これにて数列の話はおしまいです。

前にも書いたとおり、手計算できるレベルの数列は大体これで尽くされています。

この章は公式を覚えるということはほとんど無く、
計算の過程を手を動かして理解していくことが大切だと思います。

数列は具体的な項から、一般項を予測したり、
漸化式で計算の楽しさを味わうのに非常にいい題材だと考えますので、
楽しみながら学んで欲しいと思います。

82 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/10/15(金) 01:36:24 ID:9BZ8e5uY
瞑想期間を経て復活。
思いのほか期間が開いたのは、私の体調によっているせいです。

83 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/10/26(火) 01:42:07 ID:GcOWwVTw
ETV高校講座数学始まり始まり。
今日は整式ということです。

整式ってあれですよ。
x + 1 とか 3a^2 + a + 5 みたいなやつ全体のことですよ。

84 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/10/26(火) 01:52:04 ID:GcOWwVTw
中学校の復習から入っているので、
特段書くことはありません。

問題2
1)-7b^3c^2
2)ab/9

85 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/10/26(火) 01:57:10 ID:GcOWwVTw
文字の利用です。
上のほうでやった数列等でも散々やっているので取り上げません。

問題3
1)V = a^3 (cm^3)
2)1000 - 3b (円)

86 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/10/26(火) 02:04:07 ID:GcOWwVTw
整式の話ですねー。

次数と係数はよく文章を見ないと間違えますね。

例えば、単項式 5(x^4)(y^3)(z^2) について
1)この単項式の次数
この場合は全ての文字についての積の個数なので 9 .
2) x についてみたときの係数
x のみを主人公にするので 5(y^3)(z^2) .

などなど。何が主人公かを見極めねばなりません。
まあ、これは言葉の問題ですし、高校レベルで多変数関数を取り扱うことは少ないので、
この単元のみで問題になる話のような気がします。

87 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/10/26(火) 02:06:13 ID:GcOWwVTw
問題5
1) 1
2) 2
3) 3

ということで。

88 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/11/10(水) 04:27:09 ID:EMcYrVyk
代数学が苦手で苦手で仕方がないのですが、
なんとなく一般論はやっておきたい気分です。
>>22の続きから。

89 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/11/26(金) 02:18:30 ID:eAagI+ko
ETVで自然数の倍数の判定をやっているので、
私もやってみることにする。

2の倍数:下1桁が2の倍数ならば2の倍数。そうでなければ2の倍数でない。
3の倍数:桁に表れている数をすべて足して、それが3の倍数なら3の倍数
4の倍数:下2桁が4の倍数ならば4の倍数。
5の倍数:下一桁が0または5。
6の倍数:2の倍数かつ3の倍数であること。
7の倍数:決定打は…
8の倍数:下3桁が8の倍数。
9の倍数:桁に表れている数をすべて足して、それが9の倍数なら9の倍数。
10の倍数:一桁目が0。
11の倍数:奇数の桁に表れている数と、偶数の桁の数をそれぞれ足したときそれらが一致すること。

90 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/11/26(金) 02:25:24 ID:eAagI+ko
証明していきます。

3の倍数(9の倍数)の判定の証明
4桁の自然数で証明するが、一般の自然数も同様に証明できる。
4桁の自然数は 1000a + 100b + 10c + d と表せる。
ここで a, b, c, d は 0 から 9 の整数で、a は 0 ではない。
1000a + 100b + 10c + d
= 999a + 99b + 9c + ( a + b + c + d )
と変形すると前の部分は9の倍数なので3の倍数。
よって a + b + c + d が3の倍数なら元の数も3の倍数であり、9の倍数なら元の数も9の倍数。
この a, b, c, d は表れている数であるから、示される。

91 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/11/26(金) 02:29:14 ID:eAagI+ko
3の倍数の判定法の例
1) 3572
3 + 5 + 7 + 2 = 17
17は3の倍数ではないので、3572は3の倍数ではない。

2) 2859
2 + 8 + 5 + 9 = 24
24は3の倍数なので、2859は3の倍数である。

92 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2010/12/02(木) 04:19:45 ID:PFdzYkuc
忘れないようにまとめ。証明はつけない。

(X, M, μ) をσ有限測度空間, f, g をその上の複素数値可測関数とする.
このとき可測関数全体の空間は C 上のベクトル空間になる.
さらに積 f・g も可測関数になる.

証明するために定理を一つ与えておく.

定理:
φ を R^2 上の連続関数とし, f, g をX上の実数値可測関数とすると,
φ ( f (x), g (x) ) は可測関数となる.

後はa, b ∈ C に対して φ (s, t) = as + bt とおくとベクトル空間であることが、
また φ (s, t) = st とおくと積も入っていることがわかる。
後者の積は厳密には実数だが、f・g の実部と虚部が可測関数であることを見ればよいのでこれで十分である。

93 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/01/27(木) 03:08:24 ID:4wvV6KE2
ある定理を調べて出てきたページが、
高木貞治の解析概論にそっくりだなーって思ってたら
どうやら著作権切れに合わせて、
Wikisourceが本当に解析概論を電子化していたようだ。

これは便利だ。

94 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/02/11(金) 22:42:37 ID:XgmbXadM
>>93の解析概論は打ち込み終わってますね。早い。

こっちに書き込んでいる暇が無いのが無念です。
いや、暇を作るのは自分の力しだいでしょうから、
書き込めるように頑張ります。

95 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/02/14(月) 02:18:29 ID:039Hk0ss
R上の実数値関数 f について,
・任意の実数 x に対して, f (x) = f(-x) が成り立つとき f を偶関数という.
・任意の実数 x に対して, f (-x) = -f(x) が成り立つとき f を奇関数という.


n を自然数とする.
x^(2n-1) は奇関数, x^(2n) は偶関数.
sin(nx) は奇関数, cos(nx) は偶関数.

ここで一つ,すぐに分かる命題を載せておく.

命題:
奇(偶)関数と奇(偶)関数の積は偶関数であり,奇関数と偶関数の積は奇関数である.
∵)
前半を示す.偶関数同士の積の場合は明らか. f, g を奇関数とする. このとき
f (-x) g (-x) = ( -f (x) ) ( -g (x) ) = f (x ) g (x).よって示される.
後半も明らかである. ■

96 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/03/11(金) 09:07:25 ID:kYGwLg56
教科書の意味がわからな過ぎて、
7時間悩み続け、それが今解決したことをここに記す。

97 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/04/21(木) 22:19:41 ID:j0dNSHNg
地震直前のこんがらがった頭が、
この書き込みにつながったわけです。

何を悩んでいたのか、それが問題ですが。

98 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/25(水) 02:18:51 ID:5lHtHyco
積分との付き合いは高校2年生のときに始まり、
理系の場合、それからずっと付き合っていくことになる。

初めて習う積分はRiemann積分の特殊な例に過ぎない。
そこから、大学へ入学すると本格的な積分に入っていくことになり、
一般のRiemann積分の定義、広義Riemann積分、最後はLebesgue積分に進むことになる。

さて、Lebesgue積分によって、Riemann積分可能な関数は
すべてLebesgue積分可能ということが分かる上に、
より多くの関数がLebesugue積分可能になることが分かる。
しかしながら、一次元の広義Riemann積分可能なものの中には、
Lebesugue積分可能でないものが存在する。
したがって、それらだけは広義Riemann積分のままで考えるのがよく、
それ以外は全てLebesgue積分と思うと積分の幅を広げられる。

99 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/25(水) 02:23:03 ID:5lHtHyco
∫_(0, ∞) sin(x) / x dx
は広義Riemann積分可能だが、Lebesgue積分可能でない。

広義Riemann積分可能であることは、
a_n = ∫_(0, n) sin(x) / x dx , n ∈ N
とおくと、これがCauchy列ということが分かるからである。

Lebesgue積分可能でないのは、
∫_(0, ∞) |sin(x)| / x dx
が発散するからである。

100 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/25(水) 02:40:33 ID:5lHtHyco
それでは、広義Riemann積分にはLebesgue積分は対応できないか、
ということになるが、実は可能である。

上の ∫_(0, ∞) sin(x) / x dx についても以下のようにすれば計算可能である。

f (t) = ∫_(0, ∞) e^(-tx) sin(x) / x dx , t > 0
とおく。e^(-tx) が [0, ∞) 上Lebesgue積分可能であることと、
sin(x) / x が (0, ∞) 上有界であることから、f は各 t に対して定義される。
両辺を t で微分し、右辺において微分と積分を交換して(Lebesgueの収束定理よりこれは可能)、
f' (t) = -∫_(0, ∞) e^(-tx) sin(x) dx
右辺において部分積分を繰り返すと、f' (t) = -1/(1 + t^2) ,
両辺 t で積分して、f (t) = -Arctan(t) + C(定数).
t → ∞ とすると、f のおき方とLebesgueの収束定理から f (t) → 0.
一方、Arctan(t) → π/2 なので C = π/2.
最後に t → +0 とすると、再びLebesgueの収束定理より
f (t) → ∫_(0, ∞) sin(x) / x dx かつ Arctan(t) → 0
なので、∫_(0, ∞) sin(x) / x dx = π/2.

101 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/25(水) 02:51:59 ID:5lHtHyco
このようにして、広義Riemann積分も、
Lebesgue積分可能な関数の極限として求めることができる。

ちなみにこの ∫_(0, ∞) sin(x) / x dx には他にも、
関数論の留数を用いる方法や、Fourier変換の理論を使う方法によっても計算できる。

102 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/28(土) 03:17:32 ID:zTkbOEJY
上のほうで群論の話がまだ途中なのですが、
関数論をちょこちょこと書いていこうと思います。
流れはCauchyの積分定理から留数定理、そして解析接続へと行ければと思っています。

103 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/28(土) 03:35:43 ID:zTkbOEJY
以下では曲線は長さを持つものとする。
曲線が単純とは、交わりを持たないということである.
閉曲線とは、始点と終点が一致している曲線のことである.

つまり、閉曲線はわっかなどの閉じた曲線のこと。

f が領域 Ω ⊂ C (この C は複素平面)で正則であるとは,
lim_[z → a] ( f (z) - f (a) ) / (z - a) = f' (a)
が全ての a ∈ Ω で成立することとする.

つまり、これは R 上の関数の微分可能性と形式的には変わらない。

また曲線 C ⊂ Ω と, Ω で正則な関数に対しその積分を
∫_C f (z) dz = lim_[ |Δ| → 0] f (ζ_i) (z_i - z_(i-1) )
と定義する.ここで |Δ| は C 上の点 z_1, z_2, …, z_n を分点とし,
その分点の長さの最大とする.また ζ_i は z_(i-1) から z_i の C 上の任意の点である.

これも R 上のRiemann積分の定義とほとんど変わらない。

104 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/28(土) 03:36:14 ID:zTkbOEJY
次の定理が成立する.
定理:(Cauchyの積分定理)
Ω を複素平面 C 内の領域とし,関数 f を Ω 上正則とする.
このとき,単純閉曲線 C ⊂ Ω であれば ∫_C f (z) dz = 0 となる.

この定理が関数論を形作る大定理である。

証明は、単純閉曲線 C は仮定より長さを持つとしていたので、
折れ線近似でき、さらにそれは三角形分割可能であることを使う。
これより、任意の三角形に対して定理が成り立つことを言えば十分となる。
肝は三角形を帰納的に構成し、区間縮小法に持ち込むことにある。

105 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/11(土) 22:13:45 ID:xuzCTw9k
Hausdorff-Youngの不等式の証明の本質はなんなんだろう。
肩に乗る冪がトリッキーで、いつも一人じゃ証明できない。

106 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:02:10 ID:OdmetsMo
境界が単純な閉曲線である領域を考える。
この閉曲線が正の向きというのは、
領域を左に見ながら進む向きのことをいう。

ところでこの曲線をパラメータ付け、それを t としたとき、
この向きって t が増加する方向になっている?

107 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:17:07 ID:OdmetsMo
>>103の積分の定義はこう定義するほうが自然である。
曲線 C が z : [0, 1] → C でパラメータ付けされているとする。
このとき
∫_C f (z) dz = ∫_[0, 1] f ( z(t) ) z'(t) dt
と定義する。

108 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:21:25 ID:OdmetsMo
次を示そう。
曲線 C は始点が α, 終点が β とする。
∫_C dz = β - α ,
∫_C z dz = (1/2)(β^2 - α^2) ,
∫_C z^2 dz = (1/3)(β^3 - α^3).
つまりこれらの積分は始点と終点のみで値が決まる。

109 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:34:25 ID:OdmetsMo
曲線 C を>>107でパラメータ付けする。
∫_C dz = β - α を示す。
R[ f, Δ, ξ ]
= Σ_[i = 1, n] (z(t_i) - z(t_(i-1)))
= z(t_n) - z(t_0)
= β - α.

∫_C z dz = (1/2)(β^2 - α^2)を示す。
ξ ,ξ'(閉区間 [0, 1] の分点)をそれぞれ ξ = {t_(i-1)}, ξ' = {t_i} ととる。
ここで i = 1, 2, …, n と動く。
R[ f, Δ, ξ ] + R[ f, Δ, ξ' ]
= Σ_[i = 1, n] ( z( t_i ) + z( t_(i-1) ) )( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
= Σ_[i = 1, n] ( z( t_i )^2 - z( t_(i-1) )^2 )
=β^2 - α^2
よって、|Δ| → 0 (分割Δの最大の小区間の幅を0に近づける)とすると、
2 ∫_C z dz = β^2 - α^2

110 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:47:01 ID:OdmetsMo
∫_C z^2 dz = (1/3)(β^3 - α^3) を示して今日は終わりにする。

∫_C z dz のときと同じように、分点 ξ, ξ', ξ'' を上手くとる。
ξ = {t_(i-1)}, ξ' = {t_i} は上と同様にとる。
ξ'' = {t'_i} を z(t'_i) = (z( t_(i-1) ) + z( t_i ) )/2
となるようにとる。
4R[ f, Δ, ξ'' ]
= Σ_[i = 1, n] (z( t_(i-1) ) + z( t_i ) )^2 ( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
= Σ_[i = 1, n] (z( t_(i-1) )^2 + 2 z( t_(i-1) ) z( t_i ) + z( t_i )^2 )( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
これに注意すると、
R[ f, Δ, ξ ] + R[ f, Δ, ξ' ] + 4R[ f, Δ, ξ'' ]
= Σ_[i = 1, n] 2(z( t_(i-1) )^2 + z( t_(i-1) ) z( t_i ) + z( t_i )^2 ) ( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
=2Σ_[i = 1, n] ( z( t_i ) ^3- z( t_(i-1) )^3 )
=2(β^3 - α^3)
よって、|Δ| → 0 とすると、6∫_C z^2 dz = 2(β^3 - α^3) が分かり示される。

111 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/20(月) 04:24:41 ID:BE2KvszM
非斉次のn階線形常微分方程式の解き方を近いうちにfollowしましょう。

112 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/01(金) 23:13:40 ID:8whMn6BU
>>111を忘れてた。今晩中に。
関数論も先に進めたいところですね。

113 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/02(土) 00:28:00 ID:kt3aICwI
サイエンス0でRSA暗号をやっていたので、
私の復習のために書いてみることにする。

1st step:鍵をつくる
1)「巨大」な素数 p, q を用意し、
n := pq とおくと φ(n) = (p - 1)(q - 1) (オイラー関数)である。
2)φ(n) と最大公約数が 1 になる自然数 e をえらぶ。
3) de ≡ 1 (mod φ(n))となる d をえらぶ。
4)(e, n) は公開し、(p, q, d) を秘密にする。

2nd step:情報のやりとり
鍵を作り(e, n)を公開したAさん と 情報 M(自然数)を伝えたいBさんがいたとする。
Bさんは公開鍵を元に C ≡ M^e (mod n) をAさんに送ってやる。

3rd step:復元
Aさんは送られてきた C について C^d ≡ M (mod n) で復元する。
復元可能の根拠はオイラーの定理である。

114 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/02(土) 00:55:46 ID:kt3aICwI
定理:(オイラーの定理)
x^φ(n) ≡ 1 (mod n)
が成立する。ここで n は自然数、x は n との最大公約数 1 となる数。

115 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/03(日) 16:59:09 ID:qqWu0c7+
夜じゃないのに数学。

(X,O(X)), (Y,O(Y)) : 位相空間
写像 f : X → Y が連続とは, 任意の G ∈ O(Y) に対して f ^(-1)(G) ∈ O(X) となること.
すなわち,開集合の逆像が開集合となること.

ところで, R^n の領域 Ω とその上の実数値関数 f に対しても連続という概念はある.
x ∈ Ω で f が連続とは,任意の ε > 0 に対して, ある δ > 0 が存在して
| f (x) - f (y) | < ε , for || x - y || < δ が成立すること.

R^n の開集合という概念はあるので R^n に制限すると,上と下は同値なはず.

116 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/03(日) 22:06:08 ID:qqWu0c7+
下の連続の定義について,訂正と補足をします.
・3行目 for 以下に, y ∈ Ω を追加.
・Ω の任意の点で f が連続であるとき,f は Ω 上連続という.
上でいっている同値になるというのはこの追加したもの.

117 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/04(月) 23:55:22 ID:IjWB7Dfo
(上)⇒(下)
x ∈ Ω, ε > 0 を任意にとる.
{ y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } は開集合.
ここで集合 f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } ) に x は属し,
また仮定によりこの集合は開集合となるから,
ある δ > 0 が存在して
 { y ∈ Ω | || x - y || < δ } ⊂ f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } )
が成立する.後は
  f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } ) = { y ∈ Ω | | f (x) - f (y) | < ε }
から従う.

118 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/29(金) 03:41:36 ID:Zv1QTAkw
無理数と無理数の和は無理数か?
偽. 2 - sqrt(2) + sqrt(2) = 2.

無理数と有理数の積は無理数か?
偽. sqrt(2) ・ 0 = 0.

無理数の無理数乗は無理数か?
偽.
まず, log_[2] 3 は無理数である.
そうではないと仮定すると有理数なので
log_[2] 3 = p/q, ただし p は整数, q は自然数とかける.
これより 2^p = 3^q. これは素因数分解の一意性に反する.よって log_[2] 3 は無理数.
さらに, 2log_[2] 3 = log_[sqrt(2)] 3 も無理数になる.
これを無理数である sqrt(2) に乗すると, sqrt(2) ^ ( log_[sqrt(2)] 3 ) = 3.
すなわち無理数の無理数乗で有理数になるものが存在する.

119 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/08(月) 21:42:44 ID:1VQ85AO2
世の中は統計学に興味があるのか?

120 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 15:47:13 ID:rYdFicIo
無限遠方で 0 に収束する連続関数全体を C_0 (R^n) と書く.
急減少関数空間を S(R^n) と書く.

C_0(R^n) は L^1 (R^n) に含まれない.
反例は 1/|x| など.
さて、S(R^n) ⊂ C_0 (R^n) だが、S(R^n) ⊂ L^1 (R^n) だろうか?

121 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:15:14 ID:rYdFicIo
>>120訂正.反例は χ_[1, ∞) (|x|) / |x| .
書き込んだ途端に解けたので.

S(R^n) ⊂ L^1 (R^n) である.
任意の f ∈ S(R^n) をとる.急減少関数なので、
|x|^2(n+1) |u(x)| ≦ M, for any x ∈ R^n
となる M が存在する.
さらに,必要なら M を取り直して
|u(x)| ≦ M for any x ∈ B(O;1) とできる.
∫_R^n |u(x)| dm(x)
= ∫_ B(O;1) |u(x)| dm(x) + ∫_( R^n - B(O;1) ) |u(x)| dm(x)
≦ M m( B(O;1) ) + M ∫_( R^n - B(O;1) ) 1/|x|^2(n+1) dm(x)
ここで先の注意を用いた.

122 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:16:11 ID:rYdFicIo
後は
∫_( R^n - B(O;1) ) 1/|x|^2(n+1) dm(x)
= ∫_[1, ∞) (∫_∂B(O;r) 1/r^2(n+1) dσ(ω))dr
= n m(B(O;1)) /(n+2) ≦ m( B(O;1) )
により ||u||_L^1(R^n) ≦ 2M m( B(O;1) ) が分かったので示された.

注意
・|x|^2(n+1) |u(x)| ≦ M の指数 2(n+1) は
|x|^2(n+1)が多項式になりかつ最後の積分を有限にするという二つの目的の為である.

123 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:23:47 ID:rYdFicIo
これで分かったことは急減少関数空間は
・S (R^n) ⊂ L^1 (R^n) ∩ L^∞ (R^n) なので,
S (R^n) ⊂ L^p (R^n) for any p ∈ [1, ∞].
・更に仮定により S (R^n) ⊂ C^∞ (R^n).
という急減少というイメージどおりの"よい"関数の空間であることが分かった。

124 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:48:56 ID:rYdFicIo
指数は 2n で十分でした…。
まさにオーバーキルですがスルーしてください。

125 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/30(火) 22:03:42 ID:H6Samc9k
本は継続して読んでいますが、また面白い話の前に飽きてしまいそうです。
高速で読んでいかないと…。

126 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/10(土) 00:42:11 ID:4q8APGcI
数学スレ復活。
ここでしかできない話が纏められればいいなと思う。

127 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/10(土) 00:44:06 ID:4q8APGcI
上で書いてあることへの不満。
急減少関数空間は、空間といっているが、
位相を何も明記していないので、本当に空間か確かめようがない。
急減少関数空間を出したのなら、緩増加超関数空間も出せばいいだろう。

128 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/24(土) 16:50:55 ID:rGFCRje+
順序数について.
ord( N ) = ω とおく.このとき,順序数は以下のように並ぶ.
1, 2, 3, …, ω, ω + 1, ω + 2, …, ω + ω = ω2, ω2 +1, …, ω3,
…, ωω = ω^2, (ω^2) + 1…, (ω^2)2, …, ω^3, …, ω^ω, ω^(ω) + 1,
…, ω^(ω + 1), …, ω^(ω2), …, ω^(ω^2), …, ω^(ω^3), …, ω^(ω^ω),
…, ω^(ω^(ω^ω)), …, ω^(ω^(ω^(ω^(…))) = ε_0, …
このように順序数はいくらでも続く.すなわち,最大の番号などというのは存在しない.

注意を述べる.
ω2 と 2ω は異なる.順序数の定義により前者は ω + ω と等しく,後者は ω に等しいからである.

129 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/24(土) 17:07:29 ID:rGFCRje+
任意の関数 f は偶関数と奇関数(>>95参照)に分解できる.
∵)
f(x) = {f(x) + f(-x)}/2 + {f(x) - f(-x)}/2
とする.第一項は偶関数,第二項は奇関数である.■

130 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2014/05/25(日) 21:07:11 ID:E3v8hIax
>>128の順序数について.
そもそも順序数って何だよ、忘れたよ.定義書いておけよといいたい.

久々にこのスレも復活です.不死鳥のように.
まあ,不死鳥といいながら半分死んでいましたが.

131 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:26:46 ID:gB1riJPo0
今から約15年前、私は中学生。
時間は数学の授業中、作図の話。
定規とコンパスを使って角の二等分線を描く練習中。
先生がこんなことをいったのです。
「もし○○(クラスメートの名前)が角の三等分線の描き方を見つけたら、
私はこっそり教えてもらってそれを発表して、一生遊んで暮らすんだ」と。
それはつまり三等分線の作図は不可能であることをいっているのです。
しかし、その証明は…。教えてもらえませんでした。

時は流れて今。
その証明がようやく分かりました。
大学にいたときに勉強していてもよかったと思える内容でした。

132 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:45:47 ID:gB1riJPo0
>>130への呼びかけ

順序集合全体のあつまりには順序同型写像が定義できる。
順序を保つ写像で全単射のことである。
この意味で同型関係で同値関係が定義できるので、
厳密に言えば集合かどうか微妙なこのあつまりを類別する。
このときの「同値類」らしきものを順序型という。
その上、整列集合の順序型を順序数という。

133 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:49:46 ID:gB1riJPo0
和の定義は、空でなく共通部分をもたない整列集合AとBに対して,
Aの元同士、Bの元同士にはそのままの順序をつけて、
AとBの元にはBの方が大きいという順序をつけるとこれは新しい整列集合になる。
この意味でこのA∪Bの順序数をAとBの和と決める。

積の定義は直積A×Bの元(a, b)と(a', b')に次のように順序をいれる。
1)b < b' であれば問答無用で(a', b')が大きい。
2)b = b' であれば a と a' の大きいほうが大きい。
これで直積は整列集合になっている。これを積の順序数の定義とする。

134 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:58:11 ID:gB1riJPo0
うやうやしい「注意」の部分。

ω2 は N×{ 0, 1 } を代表元と考えればよい。
順序は次のとおり。
(1, 0) < ( 2, 0 ) < ( 3, 0 ) < …< ( 1, 1 ) < ( 2, 1 ) < ( 3, 1 ) < …
第2成分が0ならば1には絶対かなわない。
これは、N ∪ N (←別々の集合と思った)の順序数ω+ωに等しい。

2ω は { 0, 1 }×N を代表元と見ればよい。
順序は次のとおり。
(0, 1) < (1, 1) < ( 0, 2 ) < ( 1, 2 ) < …
この一直線の並び方は自然数の順序に等しい。つまり順序数はω。

135 :んちう:2016/02/18(木) 20:52:23 ID:zXRPcTPeO


ももちーん!

スレ違いで申し訳ないがお願いがあります。

私の戯れ言スレ下さい〜。
突然に御免ね。

記録したい事が出来たの。

136 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/28(日) 21:47:18 ID:g61JdF740
>>135
すっかりおそくなってしまいました。すみません。

んちうさんの戯れ言スレ
http://bbs41.s37.xrea.com/test/read.cgi/415esgogo/1456663586/

137 :んちう:2016/03/06(日) 11:36:38 ID:4KICkQDDO
>>136

ありがとうございました。m(__)m

詳細は私のスレで〜(@゚▽゚@)

感謝感謝感謝

138 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/03/17(木) 23:37:38 ID:mPM7aenT0
ユークリッド整域ならば単項イデアル整域である。
単項イデアル整域ならば一意分解整域である。
よってユークリッド整域ならば一意分解整である。

よくやるのはこの流れなのだが、端から最後を証明したい。

139 :んちう:2016/03/30(水) 11:30:37 ID:XDG9GR61O


ももちん…やっぱりすげえな。


アホだからちんぷんかんぷんだわ。(´Д`)

140 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/03/30(水) 23:34:05 ID:O4sVWnzS0
>>139
馬鹿だからこそこんなことしかできないのです…

というわけで、今宵は上記課題に挑んでみようと思う。

141 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/03/30(水) 23:48:11 ID:O4sVWnzS0
ユークリッド整域とは整数の性質を一般化したものである。

つまり、整域 R(「ab=0」ならば「a=0 または b=0」が成り立つ可換環)で、
ノルム N : Rー{0} → N(自然数の集合)が定義されているとする。
このとき次の2条件を満たすとき R をユークリッド整域という。
1)割り算の原理が成り立つ。すなわち,a, b ∈ Rー{0} ならば
a = b q + r および 0 < N(r) < N(b) が成り立つ q, r ∈ R が存在する。
2)a, b ∈ Rー{0} に対して,N(a) < N(ab) が成り立つ。

一意分解整域とは零元でも単元でもない元が素元の積の形に一意的に書けることをいう。

142 ::2016/03/31(木) 18:18:51 ID:MZUNJYLS0
すいません、√の計算すらままならない私が通りますよw

143 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/04(月) 21:15:34 ID:lfzhKJyd0
素元に単元がかけられていても区別できないので、
ab=cd であれば (a) = (c) かつ (b) = (d) という単項イデアルの意味で一意的であると解釈する。

144 ::2016/04/09(土) 17:46:44 ID:q/RDzi9H0
ももたん今度私に√の計算方法教えて下さい。
転職活動中で一般常識問題で出てくる時もあるので…
自分頭悪いのでさっぱりわかりません。

145 :んちう:2016/04/09(土) 18:02:35 ID:NLOf8C3EO
ももちんがトライさんになって


鷹さんがハイジの様に教わればいんでないかなぁ。


んで踊る。

146 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:05:46 ID:6Www6SwZ0
>>144
お、そうですか!
では僭越ながら√の話、少しお話させていただきますね…
文章に難のある私ですので、不明な点は逐一レスください!

>>145
アルプス一万尺 こやりの上で…♪
ってな具合ですね。

147 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:08:31 ID:6Www6SwZ0
√を理解するための道を最初に記しておきます。
1.√はなぜ必要なのか?
2.√の性質は何か?
3.性質を利用して計算
こんな感じです。

148 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:27:23 ID:6Www6SwZ0
1.ルートはなぜ必要か
まずルートが登場することになった理由を説明します。
…ほとんど自己満足なので読み飛ばしてください。

この図を見てください。
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410212115.jpg

左側は1辺の長さが1の正方形です。右側は1辺の長さが2の正方形です。
辺の長さが2倍になっているわけです。
ではこの2つの正方形の面積を求めてみましょう。

正方形の面積の求め方は1辺の2乗で求められます。
つまり
(左側の正方形の面積)= 1 × 1 = 1
(右側の正方形の面積)= 2 × 2 = 4
となります。

なりますが、これは少し納得がいかないところがありませんか?

149 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:34:25 ID:6Www6SwZ0
いや…別に…というのがごく普通の反応です。
しかし一部の数学好きの人からすると、このような疑問がわくわけです。

「このように辺の長さが1、2、3…となると、
 それにともなって正方形の面積は1、4、9…となるだろう。
 ということは面積が2、3、5、6…という正方形は存在しないということか…?」

自然な疑問だと思いませんか?…思いませんか。そうですよね。
でも辺の長さは1、2、3…と順番にできるのだから、
面積が1、4、9…というような飛び石のようにしか現れないのは少し残念ではありませんか?

150 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:43:50 ID:6Www6SwZ0
本当に面積が2、3、5、6…という正方形は存在しないのでしょうか。
それを確かめるために、今から計算で実証してみましょう。

どうやって?と思った方もいると思いますが実は簡単です。

例えば面積が2の正方形がありうるか否かを考えます。
正方形の面積は(1辺の長さ)×(1辺の長さ)=(1辺の長さ)^2 (2乗という意味です)
なのですから(1辺の長さ)^2=2 となるような1辺の長さがあれば、
面積が2の正方形があるということになります。
つまり、「2乗して2となる数があるか?」という問題を考えればよいということになります。

151 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:47:59 ID:6Www6SwZ0
実験していきます。
1 ^ 2 = 1
1.1^2 = 1.21
1.2^2 = 1.44
1.3^2 = 1.69
1.4^2 = 1.96 ←
1.5^2 = 2.25 ←
1.6^2 = 2.56
1.7^2 = 2.89
1.8^2 = 3.24
1.9^2 = 3.61
2^2 = 4

この結果を見ると、「2乗して2となる数」は、1.4 と 1.5 の間にあると思われます。

152 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:56:10 ID:6Www6SwZ0
さらに実験すると
1.40^2 = 1.96
1.41^2 = 1.9881 ←
1.42^2 = 2.0164 ←


というわけで、「2乗して2となる数」は 1.41 と 1.42 の間にありそうです。
この実験をずっと続けていくと、ぴったりとその数をもとめることはできませんが、

1.414213562373095…

という数になることが分かります。つまり
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410215410.jpg
という正方形の面積は2であることが分かったのです。

ネット上ではこのように文章でしか書けませんが、
こうして面積が2の正方形が確かに存在するという喜びに、私は心のそこから感動しています。

153 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 22:24:04 ID:6Www6SwZ0
面積が2ばかりでなく、3、5、6…も同じように計算できます。
上に書いた問題はこうして克服されたわけです。

…ですが、最後に待ち構えているのは次の問題です。
いままでの結果をまとめた次の表を見てください。
面積  辺
1   1
2   1.414213562373095…
3   1.732050807568877…
4   2
5   2.236067977499789…


辺の長さのきりのよくないところは、終わりなく右のほうへずっと続くわけです。
なかなか見にくくないですか?

154 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 22:40:31 ID:6Www6SwZ0
この問題の克服はなかなか思いつきません。それは
「見にくい?それなら新しい記号をつくればいいじゃないか!」
というコロンブスの卵のような発想です。
この「新しい記号」こそがルートなのです。
先ほどの表をルートを使って書き換えてみます。どのような書き換えか、お分かりでしょうか?

面積  辺
1   √1(=1)
2   √2(=1.414213562373095… )
3   √3(=1.732050807568877…)
4   √4(=2)
5   √5(=2.236067977499789…)


いかがでしょうか。規則が分かるでしょうか。
つまり面積 x になる正方形の1辺の長さは √x と書くと約束するわけです。
こうすれば小数点以下の数を書くことから解放される上、意味もはっきりします。
また
 ( √x )^2 = x
というルートの計算につながっていく非常に重要な等式も得られます。

155 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 22:44:58 ID:6Www6SwZ0
こうして、面積2の正方形の図
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410215410.jpg

http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410222834.jpg
とすっきりした図に書き換えることができるのです。
どうでしょう。
ルートのおかげで様々なわずらわしさから解放される気持ち、分かっていただけますか?

…すぐにわかる訳がない、ですか。おっしゃるとおりです。

これでルートがなぜ要るのか、は書き終わりです。

156 ::2016/04/11(月) 16:27:40 ID:xYbHVdEG0
√が必要なのはなんとなくわかりました
わずらわしい小数点を省略したいためですね
^←これってなんですか?)
二乗って意味なんでしょうか?
意味があったら教えてください。計算方法はその後でいいです
バカですいません、ハマグチェさんみたいなバカなら面白みもあるのですが
面白い答えも思い浮かばないですw

157 :んちう:2016/04/11(月) 19:52:02 ID:yapLVAacO
>>146


ももちん、そこはテイラースイフトの曲で

CMの様に(´ω`)しぇぃきいっとあうと〜

158 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:24:36 ID:wa94/uek0
>>156
^ は「乗」であってます。
例を挙げると
2^3 = 2の3乗 = 2 × 2 × 2 = 8.

掲示板では右肩に小さい数字を表示できないので、この表示を使います。

159 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:32:41 ID:wa94/uek0
数学が分からないから自分は賢くない、と思う人はけっこう多いようですね。

それは違うと思います。
分かるかどうかは数学に費やした時間で決まると思います。
時間と労力があればわかるようになります。

解けないと嫌になってやりたくなくなって時間をかけなくなります。
それがまた解けない原因となって…悪循環に陥ると思います。

ゆっくりじわじわ時間をかければいいと思います。
絶対急にできるようにはなりません。
学校のような期末試験はないのが大人のいいところです。
のんびりいきましょう。

160 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:35:57 ID:wa94/uek0
>>157
これですか…?

テイラー・スウィフト - 「シェイク・イット・オフ」(日本語字幕付)
https://www.youtube.com/watch?v=-L9dqdDX9Ow

なんという激しさ!

161 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:37:34 ID:wa94/uek0
2.ルートの性質
ルートの持っている性質を調べてみましょう。

とその前に、1.の復習をしてみます。
面積が6の正方形の1辺の長さはいくらでしょう?

162 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:53:52 ID:wa94/uek0
どうでしょうか?

答えは √6 です。

面積が x ならば1辺の長さは √x でしたね。

163 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:03:47 ID:wa94/uek0
>>154を見てください。
面積が1と2のとき、√1 = 1 と √4 = 2 が成り立っています。
同じように √9 = 3 や √16 = 4 が成り立つこともお分かりいただけると思います。

したがって √x^2 = x が成り立ちます。

お分かりでしょうか?
( √x )^2 = x と √x^2 = x は似ているようですが違っているのです…。

164 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:10:05 ID:wa94/uek0
改めまして画像にしました。

http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411220839.jpg

http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411220909.jpg
は違うのです。

165 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:16:48 ID:wa94/uek0
次に√x × √y = √xy が成り立ちます。
ここで √xy はルートが xy 全体にかかっていることに注意してください。

例えば、
√2 × √3 = √(2×3) = √6
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411221558.jpg
と計算できます。

つまりかけ算はルートの中に入れてよい、というわけです。

166 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:22:03 ID:wa94/uek0
上の2つの性質を駆使すると、次のような計算までできます。

√18 = √(2 × 9) =√(2 × 3^2) = √2 × √3^2 = √2 × 3 = 3√2
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411222138.jpg

167 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:25:23 ID:wa94/uek0
性質は他にも色々あるのですが、今日はこの辺で。
少し問題も残しておきます。

問題.
>>165のように √x × √y = √xy 、つまりかけ算は成り立ちます。
でも、√x + √y = √(x+y) 、つまりたし算は成り立ちません。
なぜでしょうか。成り立たない例を具体的に挙げてみてください。

168 :んちう:2016/04/12(火) 06:54:08 ID:M6drKemsO
>>160


そう、それ。最後やっぱりOFFだったか。

トライのCMのハイジ達はそないに激しく踊っとりゃせんがね。

観たいな、鷹さんとももちんのダンス

169 ::2016/04/12(火) 20:19:26 ID:cyaFsz9o0
足し算は確か外の数字同士ならできるというのを聞いた事があります
√4+√6の場合は確か中でかけて外に出せば
外側の数字だけ計算してできるのではなかったでしたっけ?
なんかちんぷんかんぷんになってきたな。
掛け算は普通に掛ければできるんですよね???


170 ::2016/04/12(火) 20:25:40 ID:cyaFsz9o0
足し算だと確か複雑な答え(小数点まで出てくるからだと思う
掛け算はそのまま答えを書けばいいから?
これぐらいしか思い浮かびません。

171 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 21:42:14 ID:sf/Y5Ydm0
>>169
> 足し算は確か外の数字同士ならできる
そのとおりです。

> √4+√6の場合は確か中でかけて外に出せば
ここは違います。かけ算はかけ算にしか対応していません。

>>170
少し難しかったでしょうか。

172 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 21:54:14 ID:sf/Y5Ydm0
では>>167について述べます。
あくまで正解例ですので、これ以外にも理由付けができます。

まず成り立た「ない」ことをいうには、
あえて一旦、成り立つ、と仮定して話を始めるんです。

つまり、ルートのたし算は中身のたし算のルートに等しい、
すなわち
  √x + √y = √(x+y) は正しい ・・・(☆)
と仮定します。
さて。>>154によると 1 = √1 が成り立つのでしたね。
ということは
 1 + 1 = √1 + √1
が成り立つわけです。右辺(イコールの右側)に(☆)を適用すると
 1 + 1 = √(1+1)
たし算を実行すると
 2 = √2
になりますが…これは誤りですね。√2 = 1.414213562373095… でしたから。
これは(☆)が正しいと仮定したことから生じる誤りですから、(☆)は成り立たないことが分かりました。

このように、あえて間違いの方向へ進み、途中の落とし穴に落ちて気がつき、
引き返して正しいほうへ進む証明法を「背理法」といいます。

173 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 21:59:46 ID:sf/Y5Ydm0
>>168
> トライのCMのハイジ達
これを見てこれを思い出しました。
https://www.youtube.com/watch?v=DhgLP9c1LBU
これなら踊りたいです。

174 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:18:33 ID:sf/Y5Ydm0
ルートのたし算について書いていきます。
というわけでルートの中身をたすわけにはいきません。

しかし、3x + 2x = 5x の原理で次のような計算はできます。
 a √x + b √x = (a + b) √x.

例を挙げますね。
・3√7 + 2√7 = 5√7 (←√7 は一切変化しない)
・4√2 - 7√2 = -3√2
このようにひき算にも対応します。

注意.
√2 + √3 はこれ以上計算できません。そういうことなのでこのままです。
√5 なんていうのはもってのほかです。

最後にこんなのはどうでしょうか?いままでの組み合わせで解けます。

問.
√8 - √2 を計算せよ。

175 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:23:17 ID:sf/Y5Ydm0
解答.
こんな感じです。
√8 - √2 = √(2^2 × 2) - √2 = 2√2 - √2 = √2.

注意を述べます。
・一見計算不可能のようですができます。その鍵は √8 を変形することにあります。
・√2 はあえて書くなら 1√2 のことです。だから
 2√2 - √2 = 2√2 - 1√2 = (2-1)√2 = 1√2 = √2
です。ですがわずらわしいので普通は書きません。

176 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:28:29 ID:sf/Y5Ydm0
3.性質を利用して計算
いよいよ計算に入っていきます。
とはいっても積と和はもうやっていますから、もうほとんでやることはないです。
ここまでしっかり理解すれば市販の問題集もぱっと解けることでしょう。

残っているのは「分母の有理化」と「展開」ぐらいだと思われます。
ただし前者は分数を扱うので、この掲示板上では大変表しにくいのです。
頑張って書きますが、できれば紙とペンを用意していただいて書きながら理解するのがよろしいと思います。

177 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:34:14 ID:sf/Y5Ydm0
分母の有理化

最初に、お分かりと思いますが念のため。
a / b と書きましたら、a が分子(分数の上側)で、b が分母(分数の下側)です。

今まで四則計算のうち加減乗まで扱ってきました。
つまりたし算、ひき算、かけ算のことです。残すはわり算です。

割り算も次のような場合にはルートの中に入れて構いません。

例.
√35 ÷ √7 = √(35 ÷ 7) = √5.

全部これなら簡単なんですけどね…。これじゃない場合があるんです。
こんな問題です。

例題.
(1) 5 ÷ √5 を計算せよ。
(2) √3 / √2 の分母に根号が含まれない形に変形せよ。

178 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:38:12 ID:sf/Y5Ydm0
この例題は「分母の有理化」をしなさいという問題です。
とその前に少しリマインドしておきましょう。

( √x )^2 = x の話は覚えていますか?
ルートは2乗すると外れる、でしたね。

それから分数はこんなことが成り立ちます。
 a / b = (ak) / (bk)
このように分子分母に同じ数をかけても構わない、という性質です。
逆の操作は「約分」ってやつでしたね。

179 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:44:21 ID:sf/Y5Ydm0
それでは例題の(2)からいってみます。

解答.
(2)
分母のルートを消去するには、分母が2乗になればよい…というわけで、
分子分母に同じ数 √2 をかけます。そうすればルートが外れますから。
√3 / √2 = (√3 × √2) / ( √2 × √2 ) = √(3 × 2) / 2 = √6 / 2.

(1)
(2)と一緒です。一緒ですが ÷ は / と同じです。
5 ÷ √5 = 5 / √5 = (5 × √5 ) / (√5 × √5 ) = 5√5 / 5 = √5.
ルートを含んだ約分をするときには手前の数を約分します。

180 :んちう:2016/04/13(水) 01:59:45 ID:MbR0G7NDO
>>173


ももちん…いつまでも若いと思っていたのに


こないなものを懐かしがるなんて


(´Д`)ふぁんたすぅ〜ぴ〜ぽ〜♪




181 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/17(日) 00:54:27 ID:9eQ9bwD70
多項式 f_1、…、f_k の最大公約式とは、
これらすべてを割り切る多項式の中で次数が最大で、最高次係数が1であるものをいう.
最大公約式が1のとき、これらは互いに素である、という.

182 ::2016/04/19(火) 18:36:41 ID:v1N84lsA0
約分とか微分積分とか覚えてないっす
もうちょっと先に進むのまって下さい。
何回か読み返しているのですが理解できないっす。

183 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/20(水) 01:34:02 ID:i9Ej8jzh0
>>182
微分積分の話はしてませんよ。

約分は 2 / 4 = 1 / 2 や 32 / 24 = 4 / 3 のようなものが具体例です。

読むだけで理解するのは無理かと。
紙とペンで何度も書きながらやるといいと思います。

184 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/24(日) 10:43:00 ID:vYViDgrb0
L / K を代数的拡大とし、Ω を K の代数的閉包とする。
F ∈ K[x] が Ω で重根を持たない(持つ)とき、F(x) を K 上分離的(非分離的)な多項式という。
α ∈ L の K 上の既約多項式が(非)分離的のとき、α は K 上(非)分離的という。
L の元がすべて分離的のとき、L は分離的拡大という。
そうでない、つまりひとつでも非分離的な元が存在するときは非分離的拡大という。

K の標数が 0 ではないときにしか、非分離的という現象は起こらない。

L か Ω への中への K 同型写像全体の個数を分離次数といい [ L : K ]_s と表す。
 L / K が分離的拡大 ⇔ [ L : K ] = [ L : K ]_s
のような気がするが…証明はまだしていない。

185 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/24(日) 23:10:26 ID:+oZh3M400
有限次拡大であるとすれば正しい。

補題.
L / K が有限次拡大体 ⇔ ある α_1 ,…,α_n ∈ Ω が存在して L = K ( α_1 ,…,α_n ) と表せる。

この各 α_i が分離的であるとすれば,α_i の既約多項式の根はすべて単根となる。
K ( α_1 ,…,α_n ) を K から出発して,1つずつ順に添加して積み重ねた体の列は単拡大となる。

186 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/26(火) 00:09:59 ID:1z8GUc780
L / K が単拡大、すなわちある分離的で次数が n である元 α で L = K ( α ) と表せるとする。
1)α の K 上の既約多項式を F( x ) = Σ_[k = 0]^n a_k x^k とする。
このとき [ L : K ] = n = deg ( F ) である。
2)F の根を α_1, α_2, …, α_n とする。
任意の β ∈ L は、β = Σ_[k = 0]^[n - 1] b_k α^k と書ける。
写像 φ_i : β |→ Σ_[k = 0]^[n - 1] b_k α_i^k は L から Ω への K 単射準同型である。
逆に K 単射準同型 φ はすべて上の形をしている。
つまり [ L : K ]_s = n が成り立つ。
以上、1)と2)の議論から [ L : K ] = [ L : K ]_s が成り立つ。

187 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/26(火) 00:22:28 ID:1z8GUc780
分離次数は写像の個数で定義したが、結局は多項式の議論に落ち着いている。
これは「分離的」を多項式で定義したためだと思う。

上記の証明では [ L : K ]_s = deg ( F ) が成り立っているが、
一般には F からすべての根をとり単根にした多項式(被約多項式)F_s がとれる。
これを使い[ L : K ]_s = deg ( F_s ) が成り立つ。

188 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/29(金) 22:25:34 ID:b4arz6Et0
写像 f : X → Y について、部分集合 A ⊂ X と B ⊂ Y の包含関係を調べる。
注目するべきは
 f^-1 ( f ( A ) ) ⊃ A および f ( f^-1 (B) ) ⊂ B
ということだ。

189 ::2016/06/10(金) 22:19:00 ID:D4LgB+x40
何度か書いて読み返したけどさっぱりわからんw
算数からやり直した方がいいと最近思い始めた。
たぶん小学校高学年ぐらいからさっぱりわからないと思うw
こうしてみるとももたんって頭良いっすね、さすが大学出だけあるわ
うらやましす。

190 ::2016/06/10(金) 22:21:33 ID:D4LgB+x40
今週はなぜかジャイアンツのユニフォームを配布する楽天戦を観に
その後は金曜日には神宮へヤクルト―西武を観に行く予定です。
ヤクルト戦はエース岸が復活する可能性が高いのでいまから楽しみです。

191 ::2016/06/10(金) 22:22:32 ID:D4LgB+x40
>>190
すまんうちんさんのスレッドに書いたつもりが数学スレに誤爆w
ももたん邪魔だったら消しといて下さい。

192 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/07/02(土) 21:19:01 ID:9ERrh4kq0
>>189
>>159でも書きましたが、おそらく慣れの問題です。
勉強はゆっくりじわじわ、が大切です。
どんな人もそうやって分かっていくはずです。
ま、一部の大天才はそれに当てはまらないんですがねw

ちなみに大学生になっても、2次方程式の解の公式を覚えていない者も多数おります。
大卒かどうかは数学の出来不出来にはあまり関係ないと思われます!

193 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/07/02(土) 21:24:18 ID:9ERrh4kq0
星の王子さまの中にこんな文章があるそうです。

It is the time you have wasted for your rose that makes your rose so important.
君のバラのために無駄にした時間こそが、そのバラをとても大事なものにする。

自分にとって大切なものやことが、そもそもなぜ大切になったかは、
そのことにたくさんの時間を注ぎこんだからに違いないのです。
数学が分かった、となるにはたくさんの時間を注ぎ込むしかない、と思いますよ。

194 :最果ての名無しさん@避難所:2016/07/02(土) 22:34:39 ID:B8vSDZtk0
若干得意なのが歴史ですがそれも多分ももたんの足元にも及ばないでしょうw
自分の場合学校では勉強せず授業中に漫画ばっか描いてたタイプの
学生なので絵以外は殆ど自身がありません。
絵を描いていたおかげで認識能力だけは若干高めのようですがw


195 :たか:2016/07/02(土) 22:35:22 ID:B8vSDZtk0
194名前が消えた
ちなみに英語もまったく解読できません!

196 :んちう:2016/07/07(木) 19:08:53 ID:uwGbT744O
今、このスレ読んだ〜(。・ω・。)

たかさんたら、かわいいわ。


ももちんはサン・テクジュペリさんを存じ上げているのね。

箱根にあるサン・テクジュペリ星の王子様ミュージアムに連れていってあげたい。


箱根も暫く行ってないな…

197 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/09/27(火) 21:10:28 ID:rLsQIl4v0
果たして鷹さんはこのスレを見ているのだろうか…?
ルートの話をしてからもう半年経つのですね。
上記内容はご理解いただけたのでしょうか?
内容の難しいところはいくらでも補足しますし、
その他数学的に不明な内容については回答もしますので積極的にご利用ください。

198 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/09/27(火) 21:13:57 ID:rLsQIl4v0
何度も繰り返し書きますが、数学は繰り返し勉強しないとできるようになりません。
ある日突然できるようにはならないのです。
それは数学に限った話ではありませんよね…。
鷹さんがお描きになる絵だって一朝一夕には上達しなかったはずですよね。
習熟の道は繰り返し、繰り返し、繰り返し…

199 :たか:2016/09/29(木) 17:24:55 ID:KaO2Ufpb0
算数から勉強することにしました。
とりあえず来年の施設に入るための勉強を優先させます
107さん理解出来ない私に付き合って下さってありがとうございました。算数は小学校の高学年のドリルを買って勉強予定です
とりあえず来月の給料が出てから。

200 :たか:2016/09/29(木) 17:26:10 ID:KaO2Ufpb0
国語も漢字ドリルを購入しないと

パソでいくら書けても読めても意味ないので。

201 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/09/29(木) 23:54:36 ID:9eBRu6dY0
>>199
算数も全くおんなじように反復が大切です。
頑張ってください。
必要とあらばいつでもどうぞ。
数学と私はいつでもたかさんをお待ちしております。


202 :sage ◆yBvxkrUMpw :2016/10/06(木) 10:02:04 ID:2VHDysrx0
数学できる人は、日本語力(理解力・説明力)も高いんだよね〜。

203 :たか:2016/10/07(金) 14:21:34 ID:RL7wc+uv0
って林先生もいってましたね。論理的な文章を書くとか


204 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/12/04(日) 23:34:41 ID:NAL30sAy0
高校時代の物理の教科書にこんな記述があった。
『静電気力とつりあう外力を加えて,電荷を一定の速さでAからBまで運ぶとき,
この外力がする仕事は-Wとなる』
読んだ瞬間、「つりあってるなら電荷動かないじゃん…?」と思った。

考え直して、私の考えは完全なる間違いにすぐ気がついた。
日常的にはつりあっていると止まるイメージがあるが、
実際には、力がつりあっているときは静止しているか等速直線運動する、が正しいのである。
だから電荷は等速直線運動しているときを考えているのだ。

しかし、高校のころあれほど力学を勉強したのに、何も身についていないことが分かる。
我ながら悲しくなるが仕方がない。
くよくよせずに勉強を続けよう。

205 ::2016/12/23(金) 20:35:41 ID:W/fq5UqJ0
算数の本を買ってきたのですが。分数の計算あたりからわからないところが
でてきた、小学校3年生レベルぐらいだっけ?これ?
こんなレベルから勉強しないといけない自分が情けないがやるしかない。
これを半年(来年の7月まで)で中学卒業レベルまで持ってかなければならない。
国語も同様。しばらく勉強の残業と勉強の日々が続きそうだがやるっきゃないです!
わからなかったらここで質問していいですか?ももたん

206 ::2016/12/23(金) 20:38:33 ID:W/fq5UqJ0
しばらく勉強の残業×
しばらく仕事の残業○

207 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/12/24(土) 08:49:21 ID:e7ucDQ2w0
>>205
もちろんです。
私も永遠に勉強が必要な立場にいます。
お互い頑張りましょう!

208 ::2016/12/24(土) 20:36:01 ID:GmOdj4x00
了解です!たぶん勉強のために休みの日は昼間は図書館
夜は家にいえると思うので夜になったら聞きますね
ちょうど夜に数学の話スレだしw

209 :ないない:ないない
ないない

210 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/01/10(火) 19:50:23 ID:dJYYcbSS0
分数をどう定義するのかは少々やっかいな問題だ。
小学校の教科書を見てみるとこのような流れで定義している。
・小数を使うと1Lの半分を0.5Lと表せる。でも3等分すると小数でははっきり表せない。
・代わりに1/3と表すことにするとはっきり表せる。
こうして割り算と小数を使うことで分数の必要性を訴えかけ、
直観的な表現であること示すことに成功している。

演算についてはまず約分a/b=ak/bkができることを、
ホールケーキを等分することや面積によって直観的に示す。
こののち、積と商を具体例を通して理解させている。

211 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/01/10(火) 19:57:51 ID:dJYYcbSS0
エラーメッセージを信じたばかりに…連投になってしまった。

では厳密な定義はどうするのかというと…。
可換環Rとその部分集合Sに対してその直積集合R×Sに
(a,s)〜(a',s') ⇔ k(as'-a's)=0 となる k∈S が存在する
で関係を定めるとこれは同値関係になる。
この同値関係を使ってR×Sを類別したときの同値類をa/sと書く。
また同地類全体をS^-1Rと書き,RのSによる商環という。

よくわからないときにはR=Z、S=Nで読み替えれば明らかである。
面白いのはやはり同値関係の定め方が約分できることとして定めていることである。
上の小学生バージョンの直感によってものでも約分が肝だったから、納得である。

212 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/01/13(金) 20:46:59 ID:JgfIFUM70
センター試験直前ですね。
今年も例年どおり定められた時間で解けるかどうかやってみます。
しかし毎回満点がとれないのが悲しくて仕方がないのです。
今年は目指せ満点。

213 ::2017/01/15(日) 20:00:03 ID:tT/W6/dd0
分数を少数にする方法は覚えた

214 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/01/16(月) 01:13:07 ID:StOKxEZN0
今年度もタイムアップで満点とれませんでした…。
来年度は頑張ります。

思ったことを書いておくことにしましょう。
数IAは平面図形の問題が変な(?)構成になってましたね。
平面幾何の方べきの定理、メネラウスの定理の後に
三角比で余弦定理…ってめずらしいような気がします。
ま、数年前のまさかの相似な三角形の利用よりは高校の数学らしくていいと思います。

数IIBは、例年計算大爆発の微分積分と幾何ベクトルの計算量が少なくて拍子抜けしました。
その代わりに、数列の和の計算は時間に追われるなかでは面倒な問題でした。

全体的にはとても丁寧な出題で大満足です。
やはり難問奇問を出して受験生を惑わせるべきではないと考えます。
とくにもこのセンター試験数学は短い時間で重たい計算をするめずらしい試験なのですから。

215 ::2017/02/07(火) 20:33:58 ID:7/liNrrS0
分数の掛け算って分母同士、分子同士を掛けるでいいんだよね?


216 ::2017/02/08(水) 18:38:14 ID:oW6qQtE+0
分数の掛け算

分母同士、分子同士を掛けて約分する

分数の割り算

2個目の分数をひっくり返して掛け算→約分する

でいいんですよね?

217 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/02/08(水) 21:21:46 ID:G0aQfSXw0
OKです。
a/bと書いた場合は「b分のa」です。

a/b × c/d = ac/bd
a/b ÷ c/d =a/b × d/c = ad/bc


2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15.
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = (2×5)/(3×4) = 10/12 = 5/6 (最後は約分)

218 ::2017/02/10(金) 21:24:28 ID:0GkbZdBE0
いろいろな問題を作って解いて遊んでいました。
大体わかってきた気がします。

次は最大公約数ですね頑張ります!

219 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/02/11(土) 17:03:20 ID:6S/6F0jo0
1変数実関数が極値を持つ必要十分条件は,
1階の微分が消えていて,2階の微分の符号が一定であることである。

2変数でもその条件は大きく変化することはないようである。
最近学ぶ機会があった。
条件付き極値問題はラグランジュの未定乗数法で、
というのは知っていたもののそうでない場合を考察したことがなかった。
興味がなかったのである。

220 ::2017/02/19(日) 22:02:59 ID:Svp4NSGo0
倍数と最小公倍数でしたw失敬。

221 :んちう:2017/02/23(木) 21:41:17 ID:q8htIKhxO
ももちーん。風邪ひいてない?無理しないでね〜(@゚▽゚@)


あのね。この間、公立高校の入試問題解いたんだけど
数学の問題で「中央値」を求めよとあったんだけど…


平均値と違うの?

222 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/02/25(土) 16:39:30 ID:Qmw1BPs50
>>221
中央値は平均値とは違うんです。少し説明をします。

データ(長さや重さ)をとってきて、それを小さい順に並べます。
例えばそれが、2, 3, 4, 5, 5、となったとします。
このときちょうどまんなかにある数を「中央値」といいます。ここでは 4 です。

さて、データがたまたま奇数個だとうまくまんなかがありますが、偶数個だと…
例えば、9, 12, 14, 15, 19, 21、となった場合には、まんなかがありませんね。
そのときはまんなかに近い2個のデータを足して2で割ります。
ここでは ( 14 + 15 ) / 2 = 29 / 2 =14.5 が中央値です。

223 :んちう:2017/03/08(水) 18:23:39 ID:/7gu9PdaO
>>222


ももちん、ありがとう。

私が学生の頃…25年以上前には平均値なんてやらんかったよ。

解りやすかったので、もう一度トライしたけど…

選択肢に無い答えでた。(-ω-;)

切り捨てがあんだろうな。
時代は変わる。(゚▽゚)浦島状態だよ。

224 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/03/12(日) 23:52:21 ID:U9bKQ/pr0
>>223
リトライお疲れ様でした。
再計算したにもかかわらず解答が合わなかったようで、大変お気の毒です。
合わなかった原因と思われるものを列挙しておきます。
・問われたものが中央値に似た別の言葉ではありませんか?
平均値、最頻値、最大値、最小値…似た言葉がたくさんあります。

・数値を小さい順に並べましたか?
問題文のそのままのまんなかを取ると大抵合いません(w
数値を小さい順に並べないといけないのです。
例えば問題文では「4,2,1,3,7」ならば中央値は1ではなく、
「1,2,3,4,7」と並べ替えて3としなければならないのです。
このとき数値がだぶっていることが多いので、全部取りきれているかも注意します。

・並べ替えた上で取った数は本当にまんなかですか?
並べるのに必死になって、取った数がまんなかではないこともよくあります。
データの個数が偶数個なのか、奇数個なのか、確かめないままにとっちゃうとミスします。

こんなところですかね…気が向いたら参考にしてみてください。

225 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/04/01(土) 19:11:14 ID:IKM8Y9fi0
東ロボくんに今更興味が出ています。
彼の強みは数学で、半端ではない偏差値を誇ります。
最大で76.2(!)まで叩きだしたようです。

彼がいかにして問題を解いているかは私の理解が追いつかないので保留します。
どうやらRCF-QEといって、問題文を完全に数式に置き換えた後、
∀と∃を消去し得られる式が解であることが多いことを利用しているようです。
ここに書いてあります。
https://kaigi.org/jsai/webprogram/2013/pdf/622.pdf
http://www.fujitsu.com/downloads/JP/archive/imgjp/jmag/vol66-4/paper03.pdf

ちなみにこの書き込みはエイプリルフールではありません。

226 ::2017/05/03(水) 20:56:51 ID:wrADBuFw0
5日から有休消化が始まるので本格的に勉強に入りますよ。
午前中は出かける場所があるので午後は勉強します!

227 ::2017/07/09(日) 13:40:21 ID:+CEAm+iA0
中学数学に突入!絶対値?意味不明です!

228 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/07/25(火) 22:23:53 ID:pRfbn7e10
絶対値はざっくりいうと、
プラスのものはそのまま、マイナスのものには-1をかけろというルールです。
例えば 5 の絶対値は 5 です。-3 の絶対値は 3 となります。

それじゃあ意味はなんなの、というとこれは数直線における原点からの距離になっています。
上でいえば数直線でめもりが5の点と原点の距離は5です。
めもりが -3 の点と原点との距離は 3 である、というわけです。

229 :sage ◆yBvxkrUMpw :2017/07/26(水) 15:39:25 ID:RbyP01Bf0
>>228
すごい! 解りやすいです。
「原点からの距離」ですね。

230 ::2017/07/29(土) 12:38:47 ID:ZO8PuDdJ0
せっかく教えてもらったのに試験に全然出てきませんでしたw
数学のテスト惨敗、国語も微妙でした。

231 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/07/30(日) 23:15:19 ID:+8xH7I2c0
>>229
絶対値の定義に対する意味づけは分かりやすいですね。
人間が日常的に距離を使っているから、直感的に分かるのだと思います。

>>230
おつかれさまでした。
上にも書きましたが勉強はじわじわとゆっくり、反復が大切ですよ。
いきなり頭に入る人間はそうそういません。
何度も何度も繰り返してはじめてできるようになりますよ。
できるまで頑張ってください。

232 ::2017/08/01(火) 00:37:08 ID:pooBbPNE0
今日(昨日)ですが面接でした
そのけっかか知りませんが私に訓練校からの直担当者が着きました。
これは通ったとみてよいのか?不安だからつけたのかわかりませんが
筆記試験の結果はさんざんだったので多分不安だから着けたと
思う事にしますw明日(今日)から本命のwebコース受験です!
精一杯がんばります。
107さん今後また聞く事あるかないかわかりませんが
あったらよろしくお願いします!

233 ::2017/08/02(水) 17:18:25 ID:YON7g5YI0
Webコース受験惨敗でした。
オフィスコースに鞍替えです!
受かるかどうかわわかりませんが

234 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/03(木) 21:51:10 ID:ppKpTKDw0
>>233
頑張ってください。応援しています!

235 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/03(木) 22:21:33 ID:ppKpTKDw0
高校の数学の確率の分野で試行の独立というのを学ぶだが…。
高校のときに学んでから現在に至るまでよく分かっていない。
なぜよく分からないか理由を考えてみた。

1) 定式化できない
試行とはある同一の条件で繰り返すことができる試験のことだ。
「さいころ1個をふる」とか「トランプからカードを1枚引く」とかそういうものをいう。
そして教科書にはこうある。試行が独立、とは2つ以上の試行で、一方が他方に影響を与えないときをいう、と。
そのあとに2つの試行それぞれの事象の確率はそれぞれの確率の積に等しいと書かれる。
つまり試行は現実世界の出来事をモデルとした実験のことであって、決して数式で表現することができない。
ゆえに試行が独立であるということも数式で表せないのである。
ちなみに確率を計算するときには、試行の結果すなわち事象を対象とするので何の影響もない。

236 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/03(木) 22:23:47 ID:ppKpTKDw0
2)そもそも影響を与え合う実験とは何のことか?
教科書にはよくこんなことが書いてある。
試行S「トランプのたばからカードを1枚引く」試行T「試行Sのあとでカードを戻さずまた1枚引く」
こうするとSからTへは影響があるので独立ではない、と。
しかし私が思うにこれは1つの試行と考えるほうが自然だろう。つまり
「トランプのたばから2枚のカードを引く」とするべきであろう。
試行は同一条件下で繰り返せる試験なのに、Tは毎度毎度Sの結果を受けるので同一条件下とはいえないのではないだろうか。
もし試行が現実世界のモデルとリンクしたものであるならば、過去の出来事が現在へ影響を与えず、
また現在の行為が未来の出来事へ影響を与えない保障は全くないではないか。

3)大学での数学にはこんなものは出てこない
理由は簡単で1)でも書いたが試行が定式化できないことにある。
大学での数学は確率空間を考えて論ずるのが通常であり、現実世界とリンクしていようがなかろうがどうでもいいのである。
そして独立というものも事象に対してのみ定義する。もちろん定式化されている。

4)結論
以上のことから試行の独立という語は、数学的には意味をなさないと考える。
むしろおのおのの試行はすべて独立であると考えるほうが自然に感じられる。
重要なのは事象が独立であることで、これは数式の計算を通して定義でき、条件付き確率と密接に関わる。

ちなみに「独立試行」という語は、現在の「反復試行」の意味で使われていたようである。
この語がすりかわっているのでは?という気もするが確証はない。

237 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/03(木) 22:33:46 ID:ppKpTKDw0
2)の最後についてが分かりにくい気がするので補足します。
一方の試行が他方の試行に影響を与えるか否かをいちいち考えていたら、
例のトランプ抜きの場合のようにそんなの人によって感じ方が違う場合もあるでしょ?といいたかったのです。

したがって、試行は同一条件下で繰り返せる試験を指すわけですから、
すべて独立であることは当然のことだと考えれば定義する必要性なくなるというわけです。

238 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/05(土) 21:13:03 ID:LoN0bOtg0
手元にある赤攝也先生の「確率論入門」ちくま学芸文庫をみても、
「試行の独立」という言葉はなさそうです。
あるのは事象の独立と確率変数の独立です。
確率変数も、結局は根元事象への規則ととらえられるので、事象の独立です。

239 ::2017/08/07(月) 19:25:53 ID:vABWvUwE0
107さんいまさらだけど分数、%、割合をそれぞれに直す方法教えて!


例えば、分数を割合%に、割合を分数%に、%を分数割合に直す方法!
小学生でもわかるようなやさしくw

240 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 19:39:32 ID:3iN8LMZ40
>>239
分数、小数、それに付随する百分率(%)は鬼門であるというイメージがつきまとうようです。

自分は小学生のころ単位換算、リットルとccにせよ、アールを平方メートルにせよのようなもの、
がすごく苦手で、このイメージと重なっているのでは?と考えたことがあります。
分数と小数の変換と単位換算は全く関係ありませんのでご心配なく。

前置きが長くなりました。始めましょう。

241 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 19:52:58 ID:3iN8LMZ40
1)小数 → 分数
小数点以下のけたが…
『1けた』→「10分の」
『2けた』→「100分の」
『3けた』→「1000分の」

としてあとは小数点をなくして分子にもっていけば終了です。
文章だと伝わりにくいですが、具体例を見ればなるほどとなるものです。
いくつか例を挙げます。分からなければ遠慮なくレスをください。
ちなみに「3分の2」は「2/3」と表します。左が分子で右が分母ですよ。
・0.3の場合
0.3 → 小数点以下の数は3なので『1けた』だから「10分の」
→0.3の小数点をなくすと03でこれは3のこと→10分の3→3/10
つまり  0.3=3/10  となります。
・1.35の場合
1.35→小数点以下の数は35なので『2けた』だから「100分の」
→小数点をなくすと135→100分の135→135/100
つまり  1.35=135/100=27/20 となります。(最後は約分してます)

問題.
(1) 0.5を分数にしてみてください。
(2) 1.25を分数にしてみてください。

242 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 19:55:40 ID:3iN8LMZ40
2)分数 → 小数
これは分子を分母で割り算します。筆算、というやつですね。
例えば
・1/4 = 1÷4 = 0.25
・5/2 = 5÷2 = 2.5
のような感じです。

問題.
(1) 11/50を小数で表してみてください。
(2) 1/3を小数で表すとどうなるでしょうか?

243 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 20:10:32 ID:3iN8LMZ40
3)割合ってなんぞや?
当たり前のように割合という言葉を使っていますが、どういう意味でしょうね?
この形で聞かれることが多いように感じます。

例題.部屋に20人の人がいる。女子は8人だった。その割合を求めよ。

しかしですね、実は次の問いも割合の問いなのです…。

例題.130円は100円の何倍か。

これを言うと意外に思う人もいるものなのですが、
結局割合というのは 比べる量は元の量の何倍か ということにすぎないのです。
あまり公式化するのは、と思われるかも知れませんがこういうことです。
「比べる量 = 元の量 × 割合」
言い換えると
「割合 = 比べる量 ÷ 元の量」
となります。

244 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 20:19:27 ID:3iN8LMZ40
4)例題を眺める
問題を見ながら考えていきましょう。

例題.部屋に20人の人がいる。女子は8人だった。その割合を求めよ。

「女子の割合」といわれたので、女子の人数が比べる量です。
よって部屋全体の人数が元の量になりますから、割合は 8/20=0.4 となります。

例題.130円は100円の何倍か。

実は、〜は…の○○を求めよ、という形式のときには
〜は → 比べる量   …の → 元の量   ○○ → 割合
となっていますから、130/100 = 1.3 倍ということがわかります。

問題.
1) 60 は 150 の何倍でしょうか?
2) 40人のうち数学の試験に不合格だった生徒は8人います。不合格の生徒の割合を求めてください。

245 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 20:30:22 ID:3iN8LMZ40
5)(説明を忘れていた)百分率のこと
(i)パーセント → 分数
百分率は「百分」の「率」なのですべて『100分の』に直しましょう。
例を挙げておきます。
・70% → 70/100 = 7/10 = 0.7
・0.1% → 0.1/100 = 0.001

百分率はそのままでは意味がありません。
どうしてかというと、百分率はそのまま割合を表しているからです。
>>243の最後の部分の割合の式に入れて計算して、はじめて意味があります。

例題.260人のうちの35%が自転車を使っています。この人数を求めなさい。
解答.35% → 35/100 = 7/20 が割合ですから、自転車を使っている人の人数は
   260 × 7/20 = 91. よって91人です。

246 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 20:36:16 ID:3iN8LMZ40
(ii)分数 → パーセント
意外と困るのがこの計算だったりします。
割合は>>243の最後の式から割り算で求めることになります。
割り算で出てきた数に 【最後に100をかける】 ことで百分率が求められます。

>>244の問題を焼きなおして解いてみることにしましょう。
例題.130円は100円の何%か。
解答.130 ÷ 100 =1.3 であるから、130%である。

最後に100をかけ忘れると1.3%???となって失敗します。

247 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 20:45:10 ID:3iN8LMZ40
6)そのほかの割合の表し方
うえで見てきたとおり、割合は分数、小数、百分率で表します。

でも野球をみていると打率は.315のようにかいて、「3割1分5厘」と発音しますよね?
これは.315 は 0.315 のことで、最初の0はあって当たり前なので省略しているわけです。
そして小数第1位(1/10の位)が割、小数第2位(1/100の位)が分、小数第3位(1/1000の位)が厘に対応しています。

割合でいえば、0.315 は 3割1分5厘 であり、31.5%でもある、ということです。

248 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 20:55:18 ID:3iN8LMZ40
7)まとめ
なんだか長々と…。
初めにも書きましたが、わからないときはレスをください。
そのときは恐る恐るお答えします。

最後に今までの話をまとめます。
・割合は比べる量が元の量の何倍か、でしかない
というわけで「比べる量 = 元の量 × 割合」 が基本的な式です。
しかし実際、どれが比べる量で、どれが元の量かは毎度毎度考えなければいけません…。
数学じゃなく国語の問題ですね。

・変換について
百分率(%)や割分厘は 割合のことば です。
割合であれば「1/8 = 0.125 = 12.5% = 1割2分5厘」です。
割合でなければ、1/8 = 1割2分5厘 というのは意味がありません。
(例えば、1/2 × 1/4 = 1/8の代わりに1割2分5厘と答えたら丸はもらえません。…そんな人いないか。)
ただし分数と小数の入れ替え(1/8 = 0.125のようなもの)はいつでも正しいです。

249 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/07(月) 21:06:15 ID:3iN8LMZ40
8)力だめしの問題
問題をいくつかつけます。

1) 630円の3割は何円でしょうか。
2) 15cmの毛糸の 2/5 は何cmでしょうか。
3) ある飲み物を 5/7 飲んだところ 100mL 残りました。元々は何mLあったでしょうか。
4) 食塩 30g を水 170g に溶かしてできる食塩水の濃度は何%でしょうか。
 (ヒント 食塩水の濃度=食塩水の重さのうちの食塩の重さの割合のことです)

250 ::2017/08/08(火) 18:44:10 ID:If/tDz2K0
とりあえずサンキューのレス
まだ全部読んでないけど、確認したので…
問題はあとでやります。

251 ::2017/08/13(日) 15:57:23 ID:LEz5r0FZ0
>>241
1)5/10→約分1/2 A.1/2
2)125/100→25/20→5/4→1と1/4

あってるかな?間違えてそうw


252 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/17(木) 23:46:35 ID:cRGz2uR80
>>251
どちらもOKです。
ちなみに2)は仮分数のままで可です。帯分数化しなくていいです。

そもそも帯分数は小学校でしか使いません。
小学校では分数の分子が分母より大きくなってはいけないという暗黙の了解(?)があるからです。
おそらく分数って重要よね?ということを強調したいのだろうと思われます。

253 ::2017/08/18(金) 14:08:10 ID:LVPsgb8+0
>242
1)0.22
2)0.3333333...永遠に続く

254 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/08/20(日) 23:11:16 ID:mfEhEjVO0
>>253
パーフェクトです!

ちなみに1)のように小数点以下のケタの長さにきりがあるものを有限小数といい、
2)のように無限に長くケタが続くものを無限小数といいます。

…いうんですけど、残念なことに実はこの有限小数と無限小数という呼び方は、
数学の言葉の使いかたとしては正直いまいちなのです…。

そしてどうしていまいちかという話はルートの話へと続いていくのです…!

255 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/09/09(土) 02:35:44 ID:/YbHWni50
3次以上の代数方程式の話。
ラグランジュの分解式を使うのはなんとなく分かった…いや分かっていない。
ガロア理論と実際の方程式が結びつかないから、
読んでいても理論と実際の乖離に苦しむばかりだ。
おそらく判別式が分解式の計算中に登場するということか?
うまくできすぎている。ラグランジュの眼力のすごさに脱帽だ。

256 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/09/09(土) 02:40:24 ID:/YbHWni50
(a+b+c)^3
=a^3+b^3+c^3
 +3ab^2+3ac^2+3ba^2+3bc^2+3bc^2+3cb^2
 +6abc

257 ::2017/09/11(月) 17:53:25 ID:KnuAQfBk0
>>244
1)0.25…2割5分
2)0.2…2割

258 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/09/12(火) 00:25:16 ID:yzt//iKL0
>>257
OKです!
練習問題はこれでばっちりですね。
それでは楽しい割合生活を…!

259 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2017/10/23(月) 22:13:55 ID:VBnkbWYK0
>>113から6年のときを超えて復習する機会が与えられたRSA暗号である。
今度こそ…今度こそ完全に理解したと思われる。

復元の根拠は確かに、初等整数論のオイラーの定理>>114ではある。
しかしもっと大事なことは3)で d が選べることである。
これはφ(n) と e の最大公約数が 1 だからできることだからだ。
つまり、Z/Φ(n)Z (Z上のΦ(n)による剰余環)において、
積の逆元が存在するための必要十分条件を与えていることにある。
ここでも、ax≡b (mod n) を解く話を理解したことが効いている。

ちなみに2) で e を選ぶことができるのは、当然のことだ。

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