つまり、整域 R（「ab=0」ならば「a=0 または b=0」が成り立つ可換環）で、 ノルム N : Rー{0} → N(自然数の集合）が定義されているとする。 このとき次の２条件を満たすとき R をユークリッド整域という。 １）割り算の原理が成り立つ。すなわち，a, b ∈ Rー{0} ならば a = b q + r および 0 < N(r) < N(b) が成り立つ q, r ∈ R が存在する。 ２）a, b ∈ Rー{0} に対して，N(a) < N(ab) が成り立つ。
L / K を代数的拡大とし、Ω を K の代数的閉包とする。 F ∈ K[x] が Ω で重根を持たない（持つ）とき、F(x) を K 上分離的（非分離的）な多項式という。 α ∈ L の K 上の既約多項式が（非）分離的のとき、α は K 上（非）分離的という。 L の元がすべて分離的のとき、L は分離的拡大という。 そうでない、つまりひとつでも非分離的な元が存在するときは非分離的拡大という。
K の標数が 0 ではないときにしか、非分離的という現象は起こらない。
L か Ω への中への K 同型写像全体の個数を分離次数といい [ L : K ]_s と表す。 L / K が分離的拡大 ⇔ [ L : K ] = [ L : K ]_s のような気がするが…証明はまだしていない。
L / K が単拡大、すなわちある分離的で次数が n である元 α で L = K ( α ) と表せるとする。 １）α の K 上の既約多項式を F( x ) = Σ_[k = 0]^n a_k x^k とする。 このとき [ L : K ] = n = deg ( F ) である。 ２）F の根を α_1, α_2, …, α_n とする。 任意の β ∈ L は、β = Σ_[k = 0]^[n - 1] b_k α^k と書ける。 写像 φ_i : β |→ Σ_[k = 0]^[n - 1] b_k α_i^k は L から Ω への K 単射準同型である。 逆に K 単射準同型 φ はすべて上の形をしている。 つまり [ L : K ]_s = n が成り立つ。 以上、１）と２）の議論から [ L : K ] = [ L : K ]_s が成り立つ。
