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夜限定で算数・数学の話でも

1 :107 ◆Dnhm9Q9euc @107 ★:2010/08/02(月) 02:15:28 ID:???
職権乱用とはこのこと。
怒られたらやめますし、朝になったらpool行き。

アニメ・漫画の掲示板にこんなふわふわした数学のスレッド。

101 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/25(水) 02:51:59 ID:5lHtHyco
このようにして、広義Riemann積分も、
Lebesgue積分可能な関数の極限として求めることができる。

ちなみにこの ∫_(0, ∞) sin(x) / x dx には他にも、
関数論の留数を用いる方法や、Fourier変換の理論を使う方法によっても計算できる。

102 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/28(土) 03:17:32 ID:zTkbOEJY
上のほうで群論の話がまだ途中なのですが、
関数論をちょこちょこと書いていこうと思います。
流れはCauchyの積分定理から留数定理、そして解析接続へと行ければと思っています。

103 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/28(土) 03:35:43 ID:zTkbOEJY
以下では曲線は長さを持つものとする。
曲線が単純とは、交わりを持たないということである.
閉曲線とは、始点と終点が一致している曲線のことである.

つまり、閉曲線はわっかなどの閉じた曲線のこと。

f が領域 Ω ⊂ C (この C は複素平面)で正則であるとは,
lim_[z → a] ( f (z) - f (a) ) / (z - a) = f' (a)
が全ての a ∈ Ω で成立することとする.

つまり、これは R 上の関数の微分可能性と形式的には変わらない。

また曲線 C ⊂ Ω と, Ω で正則な関数に対しその積分を
∫_C f (z) dz = lim_[ |Δ| → 0] f (ζ_i) (z_i - z_(i-1) )
と定義する.ここで |Δ| は C 上の点 z_1, z_2, …, z_n を分点とし,
その分点の長さの最大とする.また ζ_i は z_(i-1) から z_i の C 上の任意の点である.

これも R 上のRiemann積分の定義とほとんど変わらない。

104 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/05/28(土) 03:36:14 ID:zTkbOEJY
次の定理が成立する.
定理:(Cauchyの積分定理)
Ω を複素平面 C 内の領域とし,関数 f を Ω 上正則とする.
このとき,単純閉曲線 C ⊂ Ω であれば ∫_C f (z) dz = 0 となる.

この定理が関数論を形作る大定理である。

証明は、単純閉曲線 C は仮定より長さを持つとしていたので、
折れ線近似でき、さらにそれは三角形分割可能であることを使う。
これより、任意の三角形に対して定理が成り立つことを言えば十分となる。
肝は三角形を帰納的に構成し、区間縮小法に持ち込むことにある。

105 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/11(土) 22:13:45 ID:xuzCTw9k
Hausdorff-Youngの不等式の証明の本質はなんなんだろう。
肩に乗る冪がトリッキーで、いつも一人じゃ証明できない。

106 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:02:10 ID:OdmetsMo
境界が単純な閉曲線である領域を考える。
この閉曲線が正の向きというのは、
領域を左に見ながら進む向きのことをいう。

ところでこの曲線をパラメータ付け、それを t としたとき、
この向きって t が増加する方向になっている?

107 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:17:07 ID:OdmetsMo
>>103の積分の定義はこう定義するほうが自然である。
曲線 C が z : [0, 1] → C でパラメータ付けされているとする。
このとき
∫_C f (z) dz = ∫_[0, 1] f ( z(t) ) z'(t) dt
と定義する。

108 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:21:25 ID:OdmetsMo
次を示そう。
曲線 C は始点が α, 終点が β とする。
∫_C dz = β - α ,
∫_C z dz = (1/2)(β^2 - α^2) ,
∫_C z^2 dz = (1/3)(β^3 - α^3).
つまりこれらの積分は始点と終点のみで値が決まる。

109 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:34:25 ID:OdmetsMo
曲線 C を>>107でパラメータ付けする。
∫_C dz = β - α を示す。
R[ f, Δ, ξ ]
= Σ_[i = 1, n] (z(t_i) - z(t_(i-1)))
= z(t_n) - z(t_0)
= β - α.

∫_C z dz = (1/2)(β^2 - α^2)を示す。
ξ ,ξ'(閉区間 [0, 1] の分点)をそれぞれ ξ = {t_(i-1)}, ξ' = {t_i} ととる。
ここで i = 1, 2, …, n と動く。
R[ f, Δ, ξ ] + R[ f, Δ, ξ' ]
= Σ_[i = 1, n] ( z( t_i ) + z( t_(i-1) ) )( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
= Σ_[i = 1, n] ( z( t_i )^2 - z( t_(i-1) )^2 )
=β^2 - α^2
よって、|Δ| → 0 (分割Δの最大の小区間の幅を0に近づける)とすると、
2 ∫_C z dz = β^2 - α^2

110 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/12(日) 17:47:01 ID:OdmetsMo
∫_C z^2 dz = (1/3)(β^3 - α^3) を示して今日は終わりにする。

∫_C z dz のときと同じように、分点 ξ, ξ', ξ'' を上手くとる。
ξ = {t_(i-1)}, ξ' = {t_i} は上と同様にとる。
ξ'' = {t'_i} を z(t'_i) = (z( t_(i-1) ) + z( t_i ) )/2
となるようにとる。
4R[ f, Δ, ξ'' ]
= Σ_[i = 1, n] (z( t_(i-1) ) + z( t_i ) )^2 ( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
= Σ_[i = 1, n] (z( t_(i-1) )^2 + 2 z( t_(i-1) ) z( t_i ) + z( t_i )^2 )( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
これに注意すると、
R[ f, Δ, ξ ] + R[ f, Δ, ξ' ] + 4R[ f, Δ, ξ'' ]
= Σ_[i = 1, n] 2(z( t_(i-1) )^2 + z( t_(i-1) ) z( t_i ) + z( t_i )^2 ) ( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
=2Σ_[i = 1, n] ( z( t_i ) ^3- z( t_(i-1) )^3 )
=2(β^3 - α^3)
よって、|Δ| → 0 とすると、6∫_C z^2 dz = 2(β^3 - α^3) が分かり示される。

111 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/06/20(月) 04:24:41 ID:BE2KvszM
非斉次のn階線形常微分方程式の解き方を近いうちにfollowしましょう。

112 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/01(金) 23:13:40 ID:8whMn6BU
>>111を忘れてた。今晩中に。
関数論も先に進めたいところですね。

113 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/02(土) 00:28:00 ID:kt3aICwI
サイエンス0でRSA暗号をやっていたので、
私の復習のために書いてみることにする。

1st step:鍵をつくる
1)「巨大」な素数 p, q を用意し、
n := pq とおくと φ(n) = (p - 1)(q - 1) (オイラー関数)である。
2)φ(n) と最大公約数が 1 になる自然数 e をえらぶ。
3) de ≡ 1 (mod φ(n))となる d をえらぶ。
4)(e, n) は公開し、(p, q, d) を秘密にする。

2nd step:情報のやりとり
鍵を作り(e, n)を公開したAさん と 情報 M(自然数)を伝えたいBさんがいたとする。
Bさんは公開鍵を元に C ≡ M^e (mod n) をAさんに送ってやる。

3rd step:復元
Aさんは送られてきた C について C^d ≡ M (mod n) で復元する。
復元可能の根拠はオイラーの定理である。

114 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/02(土) 00:55:46 ID:kt3aICwI
定理:(オイラーの定理)
x^φ(n) ≡ 1 (mod n)
が成立する。ここで n は自然数、x は n との最大公約数 1 となる数。

115 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/03(日) 16:59:09 ID:qqWu0c7+
夜じゃないのに数学。

(X,O(X)), (Y,O(Y)) : 位相空間
写像 f : X → Y が連続とは, 任意の G ∈ O(Y) に対して f ^(-1)(G) ∈ O(X) となること.
すなわち,開集合の逆像が開集合となること.

ところで, R^n の領域 Ω とその上の実数値関数 f に対しても連続という概念はある.
x ∈ Ω で f が連続とは,任意の ε > 0 に対して, ある δ > 0 が存在して
| f (x) - f (y) | < ε , for || x - y || < δ が成立すること.

R^n の開集合という概念はあるので R^n に制限すると,上と下は同値なはず.

116 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/03(日) 22:06:08 ID:qqWu0c7+
下の連続の定義について,訂正と補足をします.
・3行目 for 以下に, y ∈ Ω を追加.
・Ω の任意の点で f が連続であるとき,f は Ω 上連続という.
上でいっている同値になるというのはこの追加したもの.

117 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/04(月) 23:55:22 ID:IjWB7Dfo
(上)⇒(下)
x ∈ Ω, ε > 0 を任意にとる.
{ y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } は開集合.
ここで集合 f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } ) に x は属し,
また仮定によりこの集合は開集合となるから,
ある δ > 0 が存在して
 { y ∈ Ω | || x - y || < δ } ⊂ f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } )
が成立する.後は
  f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } ) = { y ∈ Ω | | f (x) - f (y) | < ε }
から従う.

118 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/07/29(金) 03:41:36 ID:Zv1QTAkw
無理数と無理数の和は無理数か?
偽. 2 - sqrt(2) + sqrt(2) = 2.

無理数と有理数の積は無理数か?
偽. sqrt(2) ・ 0 = 0.

無理数の無理数乗は無理数か?
偽.
まず, log_[2] 3 は無理数である.
そうではないと仮定すると有理数なので
log_[2] 3 = p/q, ただし p は整数, q は自然数とかける.
これより 2^p = 3^q. これは素因数分解の一意性に反する.よって log_[2] 3 は無理数.
さらに, 2log_[2] 3 = log_[sqrt(2)] 3 も無理数になる.
これを無理数である sqrt(2) に乗すると, sqrt(2) ^ ( log_[sqrt(2)] 3 ) = 3.
すなわち無理数の無理数乗で有理数になるものが存在する.

119 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/08(月) 21:42:44 ID:1VQ85AO2
世の中は統計学に興味があるのか?

120 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 15:47:13 ID:rYdFicIo
無限遠方で 0 に収束する連続関数全体を C_0 (R^n) と書く.
急減少関数空間を S(R^n) と書く.

C_0(R^n) は L^1 (R^n) に含まれない.
反例は 1/|x| など.
さて、S(R^n) ⊂ C_0 (R^n) だが、S(R^n) ⊂ L^1 (R^n) だろうか?

121 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:15:14 ID:rYdFicIo
>>120訂正.反例は χ_[1, ∞) (|x|) / |x| .
書き込んだ途端に解けたので.

S(R^n) ⊂ L^1 (R^n) である.
任意の f ∈ S(R^n) をとる.急減少関数なので、
|x|^2(n+1) |u(x)| ≦ M, for any x ∈ R^n
となる M が存在する.
さらに,必要なら M を取り直して
|u(x)| ≦ M for any x ∈ B(O;1) とできる.
∫_R^n |u(x)| dm(x)
= ∫_ B(O;1) |u(x)| dm(x) + ∫_( R^n - B(O;1) ) |u(x)| dm(x)
≦ M m( B(O;1) ) + M ∫_( R^n - B(O;1) ) 1/|x|^2(n+1) dm(x)
ここで先の注意を用いた.

122 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:16:11 ID:rYdFicIo
後は
∫_( R^n - B(O;1) ) 1/|x|^2(n+1) dm(x)
= ∫_[1, ∞) (∫_∂B(O;r) 1/r^2(n+1) dσ(ω))dr
= n m(B(O;1)) /(n+2) ≦ m( B(O;1) )
により ||u||_L^1(R^n) ≦ 2M m( B(O;1) ) が分かったので示された.

注意
・|x|^2(n+1) |u(x)| ≦ M の指数 2(n+1) は
|x|^2(n+1)が多項式になりかつ最後の積分を有限にするという二つの目的の為である.

123 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:23:47 ID:rYdFicIo
これで分かったことは急減少関数空間は
・S (R^n) ⊂ L^1 (R^n) ∩ L^∞ (R^n) なので,
S (R^n) ⊂ L^p (R^n) for any p ∈ [1, ∞].
・更に仮定により S (R^n) ⊂ C^∞ (R^n).
という急減少というイメージどおりの"よい"関数の空間であることが分かった。

124 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/16(火) 16:48:56 ID:rYdFicIo
指数は 2n で十分でした…。
まさにオーバーキルですがスルーしてください。

125 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/08/30(火) 22:03:42 ID:H6Samc9k
本は継続して読んでいますが、また面白い話の前に飽きてしまいそうです。
高速で読んでいかないと…。

126 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/10(土) 00:42:11 ID:4q8APGcI
数学スレ復活。
ここでしかできない話が纏められればいいなと思う。

127 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/10(土) 00:44:06 ID:4q8APGcI
上で書いてあることへの不満。
急減少関数空間は、空間といっているが、
位相を何も明記していないので、本当に空間か確かめようがない。
急減少関数空間を出したのなら、緩増加超関数空間も出せばいいだろう。

128 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/24(土) 16:50:55 ID:rGFCRje+
順序数について.
ord( N ) = ω とおく.このとき,順序数は以下のように並ぶ.
1, 2, 3, …, ω, ω + 1, ω + 2, …, ω + ω = ω2, ω2 +1, …, ω3,
…, ωω = ω^2, (ω^2) + 1…, (ω^2)2, …, ω^3, …, ω^ω, ω^(ω) + 1,
…, ω^(ω + 1), …, ω^(ω2), …, ω^(ω^2), …, ω^(ω^3), …, ω^(ω^ω),
…, ω^(ω^(ω^ω)), …, ω^(ω^(ω^(ω^(…))) = ε_0, …
このように順序数はいくらでも続く.すなわち,最大の番号などというのは存在しない.

注意を述べる.
ω2 と 2ω は異なる.順序数の定義により前者は ω + ω と等しく,後者は ω に等しいからである.

129 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2011/12/24(土) 17:07:29 ID:rGFCRje+
任意の関数 f は偶関数と奇関数(>>95参照)に分解できる.
∵)
f(x) = {f(x) + f(-x)}/2 + {f(x) - f(-x)}/2
とする.第一項は偶関数,第二項は奇関数である.■

130 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2014/05/25(日) 21:07:11 ID:E3v8hIax
>>128の順序数について.
そもそも順序数って何だよ、忘れたよ.定義書いておけよといいたい.

久々にこのスレも復活です.不死鳥のように.
まあ,不死鳥といいながら半分死んでいましたが.

131 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:26:46 ID:gB1riJPo0
今から約15年前、私は中学生。
時間は数学の授業中、作図の話。
定規とコンパスを使って角の二等分線を描く練習中。
先生がこんなことをいったのです。
「もし○○(クラスメートの名前)が角の三等分線の描き方を見つけたら、
私はこっそり教えてもらってそれを発表して、一生遊んで暮らすんだ」と。
それはつまり三等分線の作図は不可能であることをいっているのです。
しかし、その証明は…。教えてもらえませんでした。

時は流れて今。
その証明がようやく分かりました。
大学にいたときに勉強していてもよかったと思える内容でした。

132 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:45:47 ID:gB1riJPo0
>>130への呼びかけ

順序集合全体のあつまりには順序同型写像が定義できる。
順序を保つ写像で全単射のことである。
この意味で同型関係で同値関係が定義できるので、
厳密に言えば集合かどうか微妙なこのあつまりを類別する。
このときの「同値類」らしきものを順序型という。
その上、整列集合の順序型を順序数という。

133 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:49:46 ID:gB1riJPo0
和の定義は、空でなく共通部分をもたない整列集合AとBに対して,
Aの元同士、Bの元同士にはそのままの順序をつけて、
AとBの元にはBの方が大きいという順序をつけるとこれは新しい整列集合になる。
この意味でこのA∪Bの順序数をAとBの和と決める。

積の定義は直積A×Bの元(a, b)と(a', b')に次のように順序をいれる。
1)b < b' であれば問答無用で(a', b')が大きい。
2)b = b' であれば a と a' の大きいほうが大きい。
これで直積は整列集合になっている。これを積の順序数の定義とする。

134 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/16(火) 00:58:11 ID:gB1riJPo0
うやうやしい「注意」の部分。

ω2 は N×{ 0, 1 } を代表元と考えればよい。
順序は次のとおり。
(1, 0) < ( 2, 0 ) < ( 3, 0 ) < …< ( 1, 1 ) < ( 2, 1 ) < ( 3, 1 ) < …
第2成分が0ならば1には絶対かなわない。
これは、N ∪ N (←別々の集合と思った)の順序数ω+ωに等しい。

2ω は { 0, 1 }×N を代表元と見ればよい。
順序は次のとおり。
(0, 1) < (1, 1) < ( 0, 2 ) < ( 1, 2 ) < …
この一直線の並び方は自然数の順序に等しい。つまり順序数はω。

135 :んちう:2016/02/18(木) 20:52:23 ID:zXRPcTPeO


ももちーん!

スレ違いで申し訳ないがお願いがあります。

私の戯れ言スレ下さい〜。
突然に御免ね。

記録したい事が出来たの。

136 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/02/28(日) 21:47:18 ID:g61JdF740
>>135
すっかりおそくなってしまいました。すみません。

んちうさんの戯れ言スレ
http://bbs41.s37.xrea.com/test/read.cgi/415esgogo/1456663586/

137 :んちう:2016/03/06(日) 11:36:38 ID:4KICkQDDO
>>136

ありがとうございました。m(__)m

詳細は私のスレで〜(@゚▽゚@)

感謝感謝感謝

138 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/03/17(木) 23:37:38 ID:mPM7aenT0
ユークリッド整域ならば単項イデアル整域である。
単項イデアル整域ならば一意分解整域である。
よってユークリッド整域ならば一意分解整である。

よくやるのはこの流れなのだが、端から最後を証明したい。

139 :んちう:2016/03/30(水) 11:30:37 ID:XDG9GR61O


ももちん…やっぱりすげえな。


アホだからちんぷんかんぷんだわ。(´Д`)

140 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/03/30(水) 23:34:05 ID:O4sVWnzS0
>>139
馬鹿だからこそこんなことしかできないのです…

というわけで、今宵は上記課題に挑んでみようと思う。

141 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/03/30(水) 23:48:11 ID:O4sVWnzS0
ユークリッド整域とは整数の性質を一般化したものである。

つまり、整域 R(「ab=0」ならば「a=0 または b=0」が成り立つ可換環)で、
ノルム N : Rー{0} → N(自然数の集合)が定義されているとする。
このとき次の2条件を満たすとき R をユークリッド整域という。
1)割り算の原理が成り立つ。すなわち,a, b ∈ Rー{0} ならば
a = b q + r および 0 < N(r) < N(b) が成り立つ q, r ∈ R が存在する。
2)a, b ∈ Rー{0} に対して,N(a) < N(ab) が成り立つ。

一意分解整域とは零元でも単元でもない元が素元の積の形に一意的に書けることをいう。

142 ::2016/03/31(木) 18:18:51 ID:MZUNJYLS0
すいません、√の計算すらままならない私が通りますよw

143 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/04(月) 21:15:34 ID:lfzhKJyd0
素元に単元がかけられていても区別できないので、
ab=cd であれば (a) = (c) かつ (b) = (d) という単項イデアルの意味で一意的であると解釈する。

144 ::2016/04/09(土) 17:46:44 ID:q/RDzi9H0
ももたん今度私に√の計算方法教えて下さい。
転職活動中で一般常識問題で出てくる時もあるので…
自分頭悪いのでさっぱりわかりません。

145 :んちう:2016/04/09(土) 18:02:35 ID:NLOf8C3EO
ももちんがトライさんになって


鷹さんがハイジの様に教わればいんでないかなぁ。


んで踊る。

146 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:05:46 ID:6Www6SwZ0
>>144
お、そうですか!
では僭越ながら√の話、少しお話させていただきますね…
文章に難のある私ですので、不明な点は逐一レスください!

>>145
アルプス一万尺 こやりの上で…♪
ってな具合ですね。

147 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:08:31 ID:6Www6SwZ0
√を理解するための道を最初に記しておきます。
1.√はなぜ必要なのか?
2.√の性質は何か?
3.性質を利用して計算
こんな感じです。

148 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:27:23 ID:6Www6SwZ0
1.ルートはなぜ必要か
まずルートが登場することになった理由を説明します。
…ほとんど自己満足なので読み飛ばしてください。

この図を見てください。
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410212115.jpg

左側は1辺の長さが1の正方形です。右側は1辺の長さが2の正方形です。
辺の長さが2倍になっているわけです。
ではこの2つの正方形の面積を求めてみましょう。

正方形の面積の求め方は1辺の2乗で求められます。
つまり
(左側の正方形の面積)= 1 × 1 = 1
(右側の正方形の面積)= 2 × 2 = 4
となります。

なりますが、これは少し納得がいかないところがありませんか?

149 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:34:25 ID:6Www6SwZ0
いや…別に…というのがごく普通の反応です。
しかし一部の数学好きの人からすると、このような疑問がわくわけです。

「このように辺の長さが1、2、3…となると、
 それにともなって正方形の面積は1、4、9…となるだろう。
 ということは面積が2、3、5、6…という正方形は存在しないということか…?」

自然な疑問だと思いませんか?…思いませんか。そうですよね。
でも辺の長さは1、2、3…と順番にできるのだから、
面積が1、4、9…というような飛び石のようにしか現れないのは少し残念ではありませんか?

150 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:43:50 ID:6Www6SwZ0
本当に面積が2、3、5、6…という正方形は存在しないのでしょうか。
それを確かめるために、今から計算で実証してみましょう。

どうやって?と思った方もいると思いますが実は簡単です。

例えば面積が2の正方形がありうるか否かを考えます。
正方形の面積は(1辺の長さ)×(1辺の長さ)=(1辺の長さ)^2 (2乗という意味です)
なのですから(1辺の長さ)^2=2 となるような1辺の長さがあれば、
面積が2の正方形があるということになります。
つまり、「2乗して2となる数があるか?」という問題を考えればよいということになります。

151 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:47:59 ID:6Www6SwZ0
実験していきます。
1 ^ 2 = 1
1.1^2 = 1.21
1.2^2 = 1.44
1.3^2 = 1.69
1.4^2 = 1.96 ←
1.5^2 = 2.25 ←
1.6^2 = 2.56
1.7^2 = 2.89
1.8^2 = 3.24
1.9^2 = 3.61
2^2 = 4

この結果を見ると、「2乗して2となる数」は、1.4 と 1.5 の間にあると思われます。

152 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 21:56:10 ID:6Www6SwZ0
さらに実験すると
1.40^2 = 1.96
1.41^2 = 1.9881 ←
1.42^2 = 2.0164 ←


というわけで、「2乗して2となる数」は 1.41 と 1.42 の間にありそうです。
この実験をずっと続けていくと、ぴったりとその数をもとめることはできませんが、

1.414213562373095…

という数になることが分かります。つまり
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410215410.jpg
という正方形の面積は2であることが分かったのです。

ネット上ではこのように文章でしか書けませんが、
こうして面積が2の正方形が確かに存在するという喜びに、私は心のそこから感動しています。

153 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 22:24:04 ID:6Www6SwZ0
面積が2ばかりでなく、3、5、6…も同じように計算できます。
上に書いた問題はこうして克服されたわけです。

…ですが、最後に待ち構えているのは次の問題です。
いままでの結果をまとめた次の表を見てください。
面積  辺
1   1
2   1.414213562373095…
3   1.732050807568877…
4   2
5   2.236067977499789…


辺の長さのきりのよくないところは、終わりなく右のほうへずっと続くわけです。
なかなか見にくくないですか?

154 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 22:40:31 ID:6Www6SwZ0
この問題の克服はなかなか思いつきません。それは
「見にくい?それなら新しい記号をつくればいいじゃないか!」
というコロンブスの卵のような発想です。
この「新しい記号」こそがルートなのです。
先ほどの表をルートを使って書き換えてみます。どのような書き換えか、お分かりでしょうか?

面積  辺
1   √1(=1)
2   √2(=1.414213562373095… )
3   √3(=1.732050807568877…)
4   √4(=2)
5   √5(=2.236067977499789…)


いかがでしょうか。規則が分かるでしょうか。
つまり面積 x になる正方形の1辺の長さは √x と書くと約束するわけです。
こうすれば小数点以下の数を書くことから解放される上、意味もはっきりします。
また
 ( √x )^2 = x
というルートの計算につながっていく非常に重要な等式も得られます。

155 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/10(日) 22:44:58 ID:6Www6SwZ0
こうして、面積2の正方形の図
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410215410.jpg

http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410222834.jpg
とすっきりした図に書き換えることができるのです。
どうでしょう。
ルートのおかげで様々なわずらわしさから解放される気持ち、分かっていただけますか?

…すぐにわかる訳がない、ですか。おっしゃるとおりです。

これでルートがなぜ要るのか、は書き終わりです。

156 ::2016/04/11(月) 16:27:40 ID:xYbHVdEG0
√が必要なのはなんとなくわかりました
わずらわしい小数点を省略したいためですね
^←これってなんですか?)
二乗って意味なんでしょうか?
意味があったら教えてください。計算方法はその後でいいです
バカですいません、ハマグチェさんみたいなバカなら面白みもあるのですが
面白い答えも思い浮かばないですw

157 :んちう:2016/04/11(月) 19:52:02 ID:yapLVAacO
>>146


ももちん、そこはテイラースイフトの曲で

CMの様に(´ω`)しぇぃきいっとあうと〜

158 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:24:36 ID:wa94/uek0
>>156
^ は「乗」であってます。
例を挙げると
2^3 = 2の3乗 = 2 × 2 × 2 = 8.

掲示板では右肩に小さい数字を表示できないので、この表示を使います。

159 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:32:41 ID:wa94/uek0
数学が分からないから自分は賢くない、と思う人はけっこう多いようですね。

それは違うと思います。
分かるかどうかは数学に費やした時間で決まると思います。
時間と労力があればわかるようになります。

解けないと嫌になってやりたくなくなって時間をかけなくなります。
それがまた解けない原因となって…悪循環に陥ると思います。

ゆっくりじわじわ時間をかければいいと思います。
絶対急にできるようにはなりません。
学校のような期末試験はないのが大人のいいところです。
のんびりいきましょう。

160 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:35:57 ID:wa94/uek0
>>157
これですか…?

テイラー・スウィフト - 「シェイク・イット・オフ」(日本語字幕付)
https://www.youtube.com/watch?v=-L9dqdDX9Ow

なんという激しさ!

161 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:37:34 ID:wa94/uek0
2.ルートの性質
ルートの持っている性質を調べてみましょう。

とその前に、1.の復習をしてみます。
面積が6の正方形の1辺の長さはいくらでしょう?

162 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 21:53:52 ID:wa94/uek0
どうでしょうか?

答えは √6 です。

面積が x ならば1辺の長さは √x でしたね。

163 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:03:47 ID:wa94/uek0
>>154を見てください。
面積が1と2のとき、√1 = 1 と √4 = 2 が成り立っています。
同じように √9 = 3 や √16 = 4 が成り立つこともお分かりいただけると思います。

したがって √x^2 = x が成り立ちます。

お分かりでしょうか?
( √x )^2 = x と √x^2 = x は似ているようですが違っているのです…。

164 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:10:05 ID:wa94/uek0
改めまして画像にしました。

http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411220839.jpg

http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411220909.jpg
は違うのです。

165 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:16:48 ID:wa94/uek0
次に√x × √y = √xy が成り立ちます。
ここで √xy はルートが xy 全体にかかっていることに注意してください。

例えば、
√2 × √3 = √(2×3) = √6
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411221558.jpg
と計算できます。

つまりかけ算はルートの中に入れてよい、というわけです。

166 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:22:03 ID:wa94/uek0
上の2つの性質を駆使すると、次のような計算までできます。

√18 = √(2 × 9) =√(2 × 3^2) = √2 × √3^2 = √2 × 3 = 3√2
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160411222138.jpg

167 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/11(月) 22:25:23 ID:wa94/uek0
性質は他にも色々あるのですが、今日はこの辺で。
少し問題も残しておきます。

問題.
>>165のように √x × √y = √xy 、つまりかけ算は成り立ちます。
でも、√x + √y = √(x+y) 、つまりたし算は成り立ちません。
なぜでしょうか。成り立たない例を具体的に挙げてみてください。

168 :んちう:2016/04/12(火) 06:54:08 ID:M6drKemsO
>>160


そう、それ。最後やっぱりOFFだったか。

トライのCMのハイジ達はそないに激しく踊っとりゃせんがね。

観たいな、鷹さんとももちんのダンス

169 ::2016/04/12(火) 20:19:26 ID:cyaFsz9o0
足し算は確か外の数字同士ならできるというのを聞いた事があります
√4+√6の場合は確か中でかけて外に出せば
外側の数字だけ計算してできるのではなかったでしたっけ?
なんかちんぷんかんぷんになってきたな。
掛け算は普通に掛ければできるんですよね???


170 ::2016/04/12(火) 20:25:40 ID:cyaFsz9o0
足し算だと確か複雑な答え(小数点まで出てくるからだと思う
掛け算はそのまま答えを書けばいいから?
これぐらいしか思い浮かびません。

171 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 21:42:14 ID:sf/Y5Ydm0
>>169
> 足し算は確か外の数字同士ならできる
そのとおりです。

> √4+√6の場合は確か中でかけて外に出せば
ここは違います。かけ算はかけ算にしか対応していません。

>>170
少し難しかったでしょうか。

172 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 21:54:14 ID:sf/Y5Ydm0
では>>167について述べます。
あくまで正解例ですので、これ以外にも理由付けができます。

まず成り立た「ない」ことをいうには、
あえて一旦、成り立つ、と仮定して話を始めるんです。

つまり、ルートのたし算は中身のたし算のルートに等しい、
すなわち
  √x + √y = √(x+y) は正しい ・・・(☆)
と仮定します。
さて。>>154によると 1 = √1 が成り立つのでしたね。
ということは
 1 + 1 = √1 + √1
が成り立つわけです。右辺(イコールの右側)に(☆)を適用すると
 1 + 1 = √(1+1)
たし算を実行すると
 2 = √2
になりますが…これは誤りですね。√2 = 1.414213562373095… でしたから。
これは(☆)が正しいと仮定したことから生じる誤りですから、(☆)は成り立たないことが分かりました。

このように、あえて間違いの方向へ進み、途中の落とし穴に落ちて気がつき、
引き返して正しいほうへ進む証明法を「背理法」といいます。

173 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 21:59:46 ID:sf/Y5Ydm0
>>168
> トライのCMのハイジ達
これを見てこれを思い出しました。
https://www.youtube.com/watch?v=DhgLP9c1LBU
これなら踊りたいです。

174 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:18:33 ID:sf/Y5Ydm0
ルートのたし算について書いていきます。
というわけでルートの中身をたすわけにはいきません。

しかし、3x + 2x = 5x の原理で次のような計算はできます。
 a √x + b √x = (a + b) √x.

例を挙げますね。
・3√7 + 2√7 = 5√7 (←√7 は一切変化しない)
・4√2 - 7√2 = -3√2
このようにひき算にも対応します。

注意.
√2 + √3 はこれ以上計算できません。そういうことなのでこのままです。
√5 なんていうのはもってのほかです。

最後にこんなのはどうでしょうか?いままでの組み合わせで解けます。

問.
√8 - √2 を計算せよ。

175 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:23:17 ID:sf/Y5Ydm0
解答.
こんな感じです。
√8 - √2 = √(2^2 × 2) - √2 = 2√2 - √2 = √2.

注意を述べます。
・一見計算不可能のようですができます。その鍵は √8 を変形することにあります。
・√2 はあえて書くなら 1√2 のことです。だから
 2√2 - √2 = 2√2 - 1√2 = (2-1)√2 = 1√2 = √2
です。ですがわずらわしいので普通は書きません。

176 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:28:29 ID:sf/Y5Ydm0
3.性質を利用して計算
いよいよ計算に入っていきます。
とはいっても積と和はもうやっていますから、もうほとんでやることはないです。
ここまでしっかり理解すれば市販の問題集もぱっと解けることでしょう。

残っているのは「分母の有理化」と「展開」ぐらいだと思われます。
ただし前者は分数を扱うので、この掲示板上では大変表しにくいのです。
頑張って書きますが、できれば紙とペンを用意していただいて書きながら理解するのがよろしいと思います。

177 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:34:14 ID:sf/Y5Ydm0
分母の有理化

最初に、お分かりと思いますが念のため。
a / b と書きましたら、a が分子(分数の上側)で、b が分母(分数の下側)です。

今まで四則計算のうち加減乗まで扱ってきました。
つまりたし算、ひき算、かけ算のことです。残すはわり算です。

割り算も次のような場合にはルートの中に入れて構いません。

例.
√35 ÷ √7 = √(35 ÷ 7) = √5.

全部これなら簡単なんですけどね…。これじゃない場合があるんです。
こんな問題です。

例題.
(1) 5 ÷ √5 を計算せよ。
(2) √3 / √2 の分母に根号が含まれない形に変形せよ。

178 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:38:12 ID:sf/Y5Ydm0
この例題は「分母の有理化」をしなさいという問題です。
とその前に少しリマインドしておきましょう。

( √x )^2 = x の話は覚えていますか?
ルートは2乗すると外れる、でしたね。

それから分数はこんなことが成り立ちます。
 a / b = (ak) / (bk)
このように分子分母に同じ数をかけても構わない、という性質です。
逆の操作は「約分」ってやつでしたね。

179 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/12(火) 22:44:21 ID:sf/Y5Ydm0
それでは例題の(2)からいってみます。

解答.
(2)
分母のルートを消去するには、分母が2乗になればよい…というわけで、
分子分母に同じ数 √2 をかけます。そうすればルートが外れますから。
√3 / √2 = (√3 × √2) / ( √2 × √2 ) = √(3 × 2) / 2 = √6 / 2.

(1)
(2)と一緒です。一緒ですが ÷ は / と同じです。
5 ÷ √5 = 5 / √5 = (5 × √5 ) / (√5 × √5 ) = 5√5 / 5 = √5.
ルートを含んだ約分をするときには手前の数を約分します。

180 :んちう:2016/04/13(水) 01:59:45 ID:MbR0G7NDO
>>173


ももちん…いつまでも若いと思っていたのに


こないなものを懐かしがるなんて


(´Д`)ふぁんたすぅ〜ぴ〜ぽ〜♪




181 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/17(日) 00:54:27 ID:9eQ9bwD70
多項式 f_1、…、f_k の最大公約式とは、
これらすべてを割り切る多項式の中で次数が最大で、最高次係数が1であるものをいう.
最大公約式が1のとき、これらは互いに素である、という.

182 ::2016/04/19(火) 18:36:41 ID:v1N84lsA0
約分とか微分積分とか覚えてないっす
もうちょっと先に進むのまって下さい。
何回か読み返しているのですが理解できないっす。

183 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/20(水) 01:34:02 ID:i9Ej8jzh0
>>182
微分積分の話はしてませんよ。

約分は 2 / 4 = 1 / 2 や 32 / 24 = 4 / 3 のようなものが具体例です。

読むだけで理解するのは無理かと。
紙とペンで何度も書きながらやるといいと思います。

184 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/24(日) 10:43:00 ID:vYViDgrb0
L / K を代数的拡大とし、Ω を K の代数的閉包とする。
F ∈ K[x] が Ω で重根を持たない(持つ)とき、F(x) を K 上分離的(非分離的)な多項式という。
α ∈ L の K 上の既約多項式が(非)分離的のとき、α は K 上(非)分離的という。
L の元がすべて分離的のとき、L は分離的拡大という。
そうでない、つまりひとつでも非分離的な元が存在するときは非分離的拡大という。

K の標数が 0 ではないときにしか、非分離的という現象は起こらない。

L か Ω への中への K 同型写像全体の個数を分離次数といい [ L : K ]_s と表す。
 L / K が分離的拡大 ⇔ [ L : K ] = [ L : K ]_s
のような気がするが…証明はまだしていない。

185 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/24(日) 23:10:26 ID:+oZh3M400
有限次拡大であるとすれば正しい。

補題.
L / K が有限次拡大体 ⇔ ある α_1 ,…,α_n ∈ Ω が存在して L = K ( α_1 ,…,α_n ) と表せる。

この各 α_i が分離的であるとすれば,α_i の既約多項式の根はすべて単根となる。
K ( α_1 ,…,α_n ) を K から出発して,1つずつ順に添加して積み重ねた体の列は単拡大となる。

186 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/26(火) 00:09:59 ID:1z8GUc780
L / K が単拡大、すなわちある分離的で次数が n である元 α で L = K ( α ) と表せるとする。
1)α の K 上の既約多項式を F( x ) = Σ_[k = 0]^n a_k x^k とする。
このとき [ L : K ] = n = deg ( F ) である。
2)F の根を α_1, α_2, …, α_n とする。
任意の β ∈ L は、β = Σ_[k = 0]^[n - 1] b_k α^k と書ける。
写像 φ_i : β |→ Σ_[k = 0]^[n - 1] b_k α_i^k は L から Ω への K 単射準同型である。
逆に K 単射準同型 φ はすべて上の形をしている。
つまり [ L : K ]_s = n が成り立つ。
以上、1)と2)の議論から [ L : K ] = [ L : K ]_s が成り立つ。

187 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/26(火) 00:22:28 ID:1z8GUc780
分離次数は写像の個数で定義したが、結局は多項式の議論に落ち着いている。
これは「分離的」を多項式で定義したためだと思う。

上記の証明では [ L : K ]_s = deg ( F ) が成り立っているが、
一般には F からすべての根をとり単根にした多項式(被約多項式)F_s がとれる。
これを使い[ L : K ]_s = deg ( F_s ) が成り立つ。

188 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/04/29(金) 22:25:34 ID:b4arz6Et0
写像 f : X → Y について、部分集合 A ⊂ X と B ⊂ Y の包含関係を調べる。
注目するべきは
 f^-1 ( f ( A ) ) ⊃ A および f ( f^-1 (B) ) ⊂ B
ということだ。

189 ::2016/06/10(金) 22:19:00 ID:D4LgB+x40
何度か書いて読み返したけどさっぱりわからんw
算数からやり直した方がいいと最近思い始めた。
たぶん小学校高学年ぐらいからさっぱりわからないと思うw
こうしてみるとももたんって頭良いっすね、さすが大学出だけあるわ
うらやましす。

190 ::2016/06/10(金) 22:21:33 ID:D4LgB+x40
今週はなぜかジャイアンツのユニフォームを配布する楽天戦を観に
その後は金曜日には神宮へヤクルト―西武を観に行く予定です。
ヤクルト戦はエース岸が復活する可能性が高いのでいまから楽しみです。

191 ::2016/06/10(金) 22:22:32 ID:D4LgB+x40
>>190
すまんうちんさんのスレッドに書いたつもりが数学スレに誤爆w
ももたん邪魔だったら消しといて下さい。

192 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/07/02(土) 21:19:01 ID:9ERrh4kq0
>>189
>>159でも書きましたが、おそらく慣れの問題です。
勉強はゆっくりじわじわ、が大切です。
どんな人もそうやって分かっていくはずです。
ま、一部の大天才はそれに当てはまらないんですがねw

ちなみに大学生になっても、2次方程式の解の公式を覚えていない者も多数おります。
大卒かどうかは数学の出来不出来にはあまり関係ないと思われます!

193 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/07/02(土) 21:24:18 ID:9ERrh4kq0
星の王子さまの中にこんな文章があるそうです。

It is the time you have wasted for your rose that makes your rose so important.
君のバラのために無駄にした時間こそが、そのバラをとても大事なものにする。

自分にとって大切なものやことが、そもそもなぜ大切になったかは、
そのことにたくさんの時間を注ぎこんだからに違いないのです。
数学が分かった、となるにはたくさんの時間を注ぎ込むしかない、と思いますよ。

194 :最果ての名無しさん@避難所:2016/07/02(土) 22:34:39 ID:B8vSDZtk0
若干得意なのが歴史ですがそれも多分ももたんの足元にも及ばないでしょうw
自分の場合学校では勉強せず授業中に漫画ばっか描いてたタイプの
学生なので絵以外は殆ど自身がありません。
絵を描いていたおかげで認識能力だけは若干高めのようですがw


195 :たか:2016/07/02(土) 22:35:22 ID:B8vSDZtk0
194名前が消えた
ちなみに英語もまったく解読できません!

196 :んちう:2016/07/07(木) 19:08:53 ID:uwGbT744O
今、このスレ読んだ〜(。・ω・。)

たかさんたら、かわいいわ。


ももちんはサン・テクジュペリさんを存じ上げているのね。

箱根にあるサン・テクジュペリ星の王子様ミュージアムに連れていってあげたい。


箱根も暫く行ってないな…

197 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/09/27(火) 21:10:28 ID:rLsQIl4v0
果たして鷹さんはこのスレを見ているのだろうか…?
ルートの話をしてからもう半年経つのですね。
上記内容はご理解いただけたのでしょうか?
内容の難しいところはいくらでも補足しますし、
その他数学的に不明な内容については回答もしますので積極的にご利用ください。

198 :107 ◆Dnhm9Q9euc :2016/09/27(火) 21:13:57 ID:rLsQIl4v0
何度も繰り返し書きますが、数学は繰り返し勉強しないとできるようになりません。
ある日突然できるようにはならないのです。
それは数学に限った話ではありませんよね…。
鷹さんがお描きになる絵だって一朝一夕には上達しなかったはずですよね。
習熟の道は繰り返し、繰り返し、繰り返し…

199 :たか:2016/09/29(木) 17:24:55 ID:KaO2Ufpb0
算数から勉強することにしました。
とりあえず来年の施設に入るための勉強を優先させます
107さん理解出来ない私に付き合って下さってありがとうございました。算数は小学校の高学年のドリルを買って勉強予定です
とりあえず来月の給料が出てから。

200 :たか:2016/09/29(木) 17:26:10 ID:KaO2Ufpb0
国語も漢字ドリルを購入しないと

パソでいくら書けても読めても意味ないので。

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