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夜限定で算数・数学の話でも

1 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ＠１０７ ★：2010/08/02(月) 02:15:28 ID:???

職権乱用とはこのこと。
怒られたらやめますし、朝になったらpool行き。

アニメ・漫画の掲示板にこんなふわふわした数学のスレッド。

240 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 19:39:32 ID:3iN8LMZ40

>>239
分数、小数、それに付随する百分率（％）は鬼門であるというイメージがつきまとうようです。

自分は小学生のころ単位換算、リットルとccにせよ、アールを平方メートルにせよのようなもの、
がすごく苦手で、このイメージと重なっているのでは？と考えたことがあります。
分数と小数の変換と単位換算は全く関係ありませんのでご心配なく。

前置きが長くなりました。始めましょう。

241 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 19:52:58 ID:3iN8LMZ40

１）小数　→　分数
小数点以下のけたが…
『1けた』→「10分の」
『2けた』→「100分の」
『3けた』→「1000分の」
…
としてあとは小数点をなくして分子にもっていけば終了です。
文章だと伝わりにくいですが、具体例を見ればなるほどとなるものです。
いくつか例を挙げます。分からなければ遠慮なくレスをください。
ちなみに「3分の2」は「2/3」と表します。左が分子で右が分母ですよ。
・0.3の場合
0.3 → 小数点以下の数は3なので『1けた』だから「10分の」
→0.3の小数点をなくすと03でこれは3のこと→10分の3→3/10
つまり　　0.3=3/10　　となります。
・1.35の場合
1.35→小数点以下の数は35なので『2けた』だから「100分の」
→小数点をなくすと135→100分の135→135/100
つまり　　1.35=135/100=27/20　となります。（最後は約分してます）

問題．
(1) 0.5を分数にしてみてください。
(2) 1.25を分数にしてみてください。

242 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 19:55:40 ID:3iN8LMZ40

２）分数　→　小数
これは分子を分母で割り算します。筆算、というやつですね。
例えば
・1/4 = 1÷4 = 0.25
・5/2 = 5÷2 = 2.5
のような感じです。

問題．
(1) 11/50を小数で表してみてください。
(2) 1/3を小数で表すとどうなるでしょうか？

243 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 20:10:32 ID:3iN8LMZ40

３）割合ってなんぞや？
当たり前のように割合という言葉を使っていますが、どういう意味でしょうね？
この形で聞かれることが多いように感じます。

例題．部屋に20人の人がいる。女子は8人だった。その割合を求めよ。

しかしですね、実は次の問いも割合の問いなのです…。

例題．130円は100円の何倍か。

これを言うと意外に思う人もいるものなのですが、
結局割合というのは　比べる量は元の量の何倍か　ということにすぎないのです。
あまり公式化するのは、と思われるかも知れませんがこういうことです。
「比べる量 = 元の量　×　割合」
言い換えると
「割合 ＝　比べる量　÷　元の量」
となります。

244 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 20:19:27 ID:3iN8LMZ40

４）例題を眺める
問題を見ながら考えていきましょう。

例題．部屋に20人の人がいる。女子は8人だった。その割合を求めよ。

「女子の割合」といわれたので、女子の人数が比べる量です。
よって部屋全体の人数が元の量になりますから、割合は 8/20=0.4 となります。

例題．130円は100円の何倍か。

実は、〜は…の○○を求めよ、という形式のときには
〜は　→　比べる量　　　…の　→　元の量　　　○○　→　割合
となっていますから、130/100 = 1.3 倍ということがわかります。

問題．
1) 60 は 150 の何倍でしょうか？
2) 40人のうち数学の試験に不合格だった生徒は8人います。不合格の生徒の割合を求めてください。

245 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 20:30:22 ID:3iN8LMZ40

５）（説明を忘れていた）百分率のこと
(i)パーセント　→　分数
百分率は「百分」の「率」なのですべて『100分の』に直しましょう。
例を挙げておきます。
・70％ → 70/100 = 7/10 = 0.7
・0.1％ → 0.1/100 = 0.001

百分率はそのままでは意味がありません。
どうしてかというと、百分率はそのまま割合を表しているからです。
>>243の最後の部分の割合の式に入れて計算して、はじめて意味があります。

例題．260人のうちの35％が自転車を使っています。この人数を求めなさい。
解答．35％ → 35/100 = 7/20 が割合ですから、自転車を使っている人の人数は
　　　260 × 7/20 = 91．　よって91人です。

246 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 20:36:16 ID:3iN8LMZ40

(ii)分数　→　パーセント
意外と困るのがこの計算だったりします。
割合は>>243の最後の式から割り算で求めることになります。
割り算で出てきた数に　【最後に１００をかける】　ことで百分率が求められます。

>>244の問題を焼きなおして解いてみることにしましょう。
例題．130円は100円の何％か。
解答．130 ÷ 100 =1.3 であるから、130％である。

最後に100をかけ忘れると1.3％？？？となって失敗します。

247 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 20:45:10 ID:3iN8LMZ40

６）そのほかの割合の表し方
うえで見てきたとおり、割合は分数、小数、百分率で表します。

でも野球をみていると打率は.315のようにかいて、「3割1分5厘」と発音しますよね？
これは.315 は 0.315 のことで、最初の0はあって当たり前なので省略しているわけです。
そして小数第1位（1/10の位）が割、小数第2位（1/100の位）が分、小数第3位（1/1000の位）が厘に対応しています。

割合でいえば、0.315 は 3割1分5厘 であり、31.5％でもある、ということです。

248 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 20:55:18 ID:3iN8LMZ40

７）まとめ
なんだか長々と…。
初めにも書きましたが、わからないときはレスをください。
そのときは恐る恐るお答えします。

最後に今までの話をまとめます。
・割合は比べる量が元の量の何倍か、でしかない
というわけで「比べる量 = 元の量　×　割合」 が基本的な式です。
しかし実際、どれが比べる量で、どれが元の量かは毎度毎度考えなければいけません…。
数学じゃなく国語の問題ですね。

・変換について
百分率（％）や割分厘は　割合のことば　です。
割合であれば「1/8 = 0.125 = 12.5％ = 1割2分5厘」です。
割合でなければ、1/8 = 1割2分5厘 というのは意味がありません。
（例えば、1/2 × 1/4 = 1/8の代わりに1割2分5厘と答えたら丸はもらえません。…そんな人いないか。）
ただし分数と小数の入れ替え（1/8 = 0.125のようなもの）はいつでも正しいです。

249 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/07(月) 21:06:15 ID:3iN8LMZ40

８）力だめしの問題
問題をいくつかつけます。

1) 630円の3割は何円でしょうか。
2) 15cmの毛糸の 2/5 は何cmでしょうか。
3) ある飲み物を 5/7 飲んだところ 100mL 残りました。元々は何mLあったでしょうか。
4) 食塩 30g を水 170g に溶かしてできる食塩水の濃度は何％でしょうか。
　（ヒント　食塩水の濃度＝食塩水の重さのうちの食塩の重さの割合のことです）

250 ：鷹：2017/08/08(火) 18:44:10 ID:If/tDz2K0

とりあえずサンキューのレス
まだ全部読んでないけど、確認したので…
問題はあとでやります。

251 ：鷹：2017/08/13(日) 15:57:23 ID:LEz5r0FZ0

>>241
１）5/10→約分1/2　A．１／２
２）125/100→25/20→5/4→１と１/4

あってるかな？間違えてそうｗ

252 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/17(木) 23:46:35 ID:cRGz2uR80

>>251
どちらもOKです。
ちなみに2)は仮分数のままで可です。帯分数化しなくていいです。

そもそも帯分数は小学校でしか使いません。
小学校では分数の分子が分母より大きくなってはいけないという暗黙の了解（？）があるからです。
おそらく分数って重要よね？ということを強調したいのだろうと思われます。

253 ：鷹：2017/08/18(金) 14:08:10 ID:LVPsgb8+0

>242
１）０．２２
２）０．３３３３３３３...永遠に続く

254 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/08/20(日) 23:11:16 ID:mfEhEjVO0

>>253
パーフェクトです！

ちなみに1)のように小数点以下のケタの長さにきりがあるものを有限小数といい、
2)のように無限に長くケタが続くものを無限小数といいます。

…いうんですけど、残念なことに実はこの有限小数と無限小数という呼び方は、
数学の言葉の使いかたとしては正直いまいちなのです…。

そしてどうしていまいちかという話はルートの話へと続いていくのです…！

255 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/09/09(土) 02:35:44 ID:/YbHWni50

3次以上の代数方程式の話。
ラグランジュの分解式を使うのはなんとなく分かった…いや分かっていない。
ガロア理論と実際の方程式が結びつかないから、
読んでいても理論と実際の乖離に苦しむばかりだ。
おそらく判別式が分解式の計算中に登場するということか？
うまくできすぎている。ラグランジュの眼力のすごさに脱帽だ。

256 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/09/09(土) 02:40:24 ID:/YbHWni50

(a+b+c)^3
=a^3+b^3+c^3
　+3ab^2+3ac^2+3ba^2+3bc^2+3bc^2+3cb^2
　+6abc

257 ：鷹：2017/09/11(月) 17:53:25 ID:KnuAQfBk0

>>244
1)0.25…２割５分
2)0.2…2割

258 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/09/12(火) 00:25:16 ID:yzt//iKL0

>>257
OKです！
練習問題はこれでばっちりですね。
それでは楽しい割合生活を…！

259 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2017/10/23(月) 22:13:55 ID:VBnkbWYK0

>>113から6年のときを超えて復習する機会が与えられたRSA暗号である。
今度こそ…今度こそ完全に理解したと思われる。

復元の根拠は確かに、初等整数論のオイラーの定理>>114ではある。
しかしもっと大事なことは3)で d が選べることである。
これはφ(n) と e の最大公約数が 1 だからできることだからだ。
つまり、Z/Φ(n)Z （Z上のΦ(n)による剰余環）において、
積の逆元が存在するための必要十分条件を与えていることにある。
ここでも、ax≡b (mod n) を解く話を理解したことが効いている。

ちなみに2) で e を選ぶことができるのは、当然のことだ。