∵) f : A → B を単射、g : B → A を単射とする。 f (A) ⊂ B に対して、B_1 = B - f (A) とおく。 以下、A_n = g (B_n), B_[n+1] = f (A_n), (n ∈ N) とおく。 その上で、 A_[*] = ∪_[n ∈ N] A_n, A^[*] = A - A_[*], B_[*] = ∪_[n ∈ N] B_n, B^[*] = B - B_[*] と定める。 このとき、 f (A^[*]) = f (A) - ∪_[n ∈ N] f(A_n) = f (A) - ∪_[n ∈ N] B_[n+1] f は単射でかつ B_1 = B - f (A) より f (A) =B - B_1 なので、 f (A^[*]) = B - ∪_[n ∈ N] B_[n] = B - B_[*] =B^[*]. また、 g (B_[*]) = ∪_[n ∈ N] g (B_n) = ∪_[n ∈ N] A_n =B_[*]. よってそれぞれ f は A^[*] から B^[*]への全単射であり、 g は B_[*] から A_[*] への全単射で特にこの B_[*] から A_[*] への全単射は 元が一対一対応していることから、A_[*] から B_[*] への全単射が作れる。 それを g^[-1] とおいて、写像 F : A → B を a ∈ A が a ∈ A^[*] ならば F (a) = f (a) とし、a ∈ A_[*] ならば F (a) = g^(-1) (a) と定めれば F が A から Bへの全単射である。 ■
