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夜限定で算数・数学の話でも

74 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 05:40:56 ID:IMhn2lLo

8.1 隣接二項漸化式
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2.
これを隣接二項漸化式といいます。
このような漸化式の一般項を求めてみようというのがこの節です。
ご覧のとおり、等比数列とも等差数列ともいいがたい形をしています。
なのでいままでのような方法では求めることは出来ません。

ここから、特性方程式を使って求める方法を紹介します。
与えられた漸化式において a_[n+1] = 3a_[n] + 2 の a_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考えます。
c = 3c +2
与えられた漸化式からこの式を辺々引いてみましょう。
a_[n+1] - c = 3a_[n] - 3c
つまりこれは、a_[n+1] - c = 3(a_[n] - c) なので、{a_[n] - c} を数列と見れば、等比数列です。
c = 3c +2 は一次方程式なので解くと、c = -1 です。
以上をまとめると、{a_[n] + 1} は初項 a_[1] + 1 = 2 + 1 = 3, 公比 3 の等比数列です。
等比数列の一般項は a_[n] + 1 = 3・3^(n-1) = 3^n であり、これより元の数列の一般項が
a_[n] = 3^n - 1 として得られます。

…まあ、知らなければ解けない方法ですね。逆に知っていれば一撃です。