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夜限定で算数・数学の話でも

60 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/28(土) 00:51:08 ID:uOfo29mg

5 等比数列の和
{ a_[n] } を初項 a, 公比 r の等比数列とします。
このとき、Σ_[k = 1]^[n] a_[k]（初項から第 n 項までの和。>>56参照）はどうなるでしょうか。

ところで r = 1 のときは、a + a + … + a = na なので一瞬でけりがつきます。
なので、r ≠ 1 とします。
S = Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = Σ_[k = 1]^[n] a・r^(k-1)
　= a + a・r + a・r^2 + … + a・r^(n-2) + a・r^(n-1)
とおいて、両辺を r 倍します。すると、
r・S = Σ_[k = 1]^[n] a・r^k
　　　= a・r + a・r^2 + a・r^3 + … + a・r^(n-1) + a・r^n
辺々ひくと、右辺で a・r, a・r^2, …, a・r^(n-2), a・r^(n-1) が相殺して、
S - r・S = a - a・r^n
(1 - r)S = a・(1 - r^n)
r ≠ 1 だったので、両辺を (1 - r) で割りましょう。そうすれば
S = a・(1 - r^n) / (1 - r)
となります。こうして和が得られました。なかなか巧妙な方法ですよね。