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夜限定で算数・数学の話でも

74 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 05:40:56 ID:IMhn2lLo

8.1 隣接二項漸化式
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2.
これを隣接二項漸化式といいます。
このような漸化式の一般項を求めてみようというのがこの節です。
ご覧のとおり、等比数列とも等差数列ともいいがたい形をしています。
なのでいままでのような方法では求めることは出来ません。

ここから、特性方程式を使って求める方法を紹介します。
与えられた漸化式において a_[n+1] = 3a_[n] + 2 の a_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考えます。
c = 3c +2
与えられた漸化式からこの式を辺々引いてみましょう。
a_[n+1] - c = 3a_[n] - 3c
つまりこれは、a_[n+1] - c = 3(a_[n] - c) なので、{a_[n] - c} を数列と見れば、等比数列です。
c = 3c +2 は一次方程式なので解くと、c = -1 です。
以上をまとめると、{a_[n] + 1} は初項 a_[1] + 1 = 2 + 1 = 3, 公比 3 の等比数列です。
等比数列の一般項は a_[n] + 1 = 3・3^(n-1) = 3^n であり、これより元の数列の一般項が
a_[n] = 3^n - 1 として得られます。

…まあ、知らなければ解けない方法ですね。逆に知っていれば一撃です。

75 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 06:10:04 ID:IMhn2lLo

はみ出し - 隣接二項漸化式〜こんなときどうする？〜
1)
数列 {a_[n]} が次のようにあたえられているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2^n.
このときは、両辺を2^(n+1)で割ってみれば、
(a_[n+1] / 2^(n+1)) = (3/2)(a_[n] / 2^n) + (1/2)
なので、b_[n] = a_[n] / 2^n とおくと、
b_[1] = a_[1] / 2 = 1, b_[n+1] = (3/2)b_[n] + (1/2)
これは>>74の形なので解けます。

2)
数列 {a_[n]} が次のようにあたえられているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2n + 5.
これは a_[n+1] = 3a_[n] + 2n + 5 の番号を一つ次にずらすのです。
a_[n+2] = 3a_[n+1] + 2(n+1) + 5
辺々下から上を引きましょう。
a_[n+2] - a_[n-1] = 3(a_[n+1] - a_[n]) + 2
数列 {a_[n+1] - a_[n]} は>>74の形なので解けます。
一般に>>74の + 2 の部分が n に関する一次式の形であれば同様に解けます。

76 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 06:10:36 ID:IMhn2lLo

3)
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 1/2, a_[n+1] = 2a_[n] / (a_[n] +1).
所謂分数形です。
これはa_[1] > 0 なので全ての n に対して a_[n] ≠ 0 に注意して、両辺の逆数をとりましょう。
1/a_[n+1] = (1/2)・(1 / a_[n]) +(1/2)
数列 {1/a_[n]} は>>74の形なので解けます。

4)
分数形をもうひとつ。
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 1/2, a_[n+1] = (2a_[n] + 1) / (a_[n] + 2).
この場合は>>74のようにa_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考えると、
c = (2c + 1) / (c + 2) ですがこれは c + 2 を払うと二次方程式になりますね。
二次方程式の解は 1, -1 ですが、a_[n+1] = (2a_[n] + 1) / (a_[n] + 2) の両辺から 1 を引きましょう。
すると a_[n+1] - 1= (a_[n] - 1) / (a_[n] + 2) = (a_[n] - 1) / (a_[n] - 1 + 3)
これは、a_[n] - 1 をひとかたまりにみると、3)の形なので解けます。

などなど隣接二項漸化式には色々なパターンがありますが、
基本は>>74や4)のようにa_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考える、
2)のように一つ次にずらして元のから引くというところでしょう。