定理:(線分上の不動点定理) f : [a, b] → [a, b] を連続関数とする. そのときにある c ∈ [a, b] で f ( c ) = c となる点 c が存在する.
(証明) g (x) = f (x) - x として[a, b]上の関数 g を定める. 仮定より g は連続関数である. ここで, a ≦ f (a) ≦ b, a ≦ f (b) ≦ b, であることに注意すると, g (b) ≦ 0 ≦ g (a) となる. g (a) = 0 または g (b) = b ならば f (a) = a または f (b) = b ゆえ示される. そこでここでは g (a) ≠ 0 かつ g (b) ≠ b とすると, g (b) < 0 < g (a) となるので連続関数における中間値の定理より, ある c ∈ [a, b] で g ( c ) = 0 となる点 c が存在する. この c について f (c) - c = 0 であるから示される. ■
3の倍数（9の倍数）の判定の証明 4桁の自然数で証明するが、一般の自然数も同様に証明できる。 4桁の自然数は 1000a + 100b + 10c + d と表せる。 ここで a, b, c, d は 0 から 9 の整数で、a は 0 ではない。 1000a + 100b + 10c + d = 999a + 99b + 9c + ( a + b + c + d ) と変形すると前の部分は9の倍数なので3の倍数。 よって a + b + c + d が3の倍数なら元の数も3の倍数であり、9の倍数なら元の数も9の倍数。 この a, b, c, d は表れている数であるから、示される。
S(R^n) ⊂ L^1 (R^n) である. 任意の f ∈ S(R^n) をとる.急減少関数なので、 |x|^2(n+1) |u(x)| ≦ M, for any x ∈ R^n となる M が存在する. さらに,必要なら M を取り直して |u(x)| ≦ M for any x ∈ B(O;1) とできる. ∫_R^n |u(x)| dm(x) = ∫_ B(O;1) |u(x)| dm(x) + ∫_( R^n - B(O;1) ) |u(x)| dm(x) ≦ M m( B(O;1) ) + M ∫_( R^n - B(O;1) ) 1/|x|^2(n+1) dm(x) ここで先の注意を用いた.
つまり、整域 R（「ab=0」ならば「a=0 または b=0」が成り立つ可換環）で、 ノルム N : Rー{0} → N(自然数の集合）が定義されているとする。 このとき次の２条件を満たすとき R をユークリッド整域という。 １）割り算の原理が成り立つ。すなわち，a, b ∈ Rー{0} ならば a = b q + r および 0 < N(r) < N(b) が成り立つ q, r ∈ R が存在する。 ２）a, b ∈ Rー{0} に対して，N(a) < N(ab) が成り立つ。
