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夜限定で算数・数学の話でも

1 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ＠１０７ ★：2010/08/02(月) 02:15:28 ID:???

職権乱用とはこのこと。
怒られたらやめますし、朝になったらpool行き。

アニメ・漫画の掲示板にこんなふわふわした数学のスレッド。

55 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/27(金) 04:48:25 ID:BGeDgS52

早速、1 + 2 + 3 + … + 1000に使ってみましょう。
この和を S とおくと、
S = (1/2)・1000・(1 + 1000) （数列の個数は 1000 個、初項は 1 、末項は 1000）
　=500500

ガウスは小学生のときにこれを1から100までの場合に適用して、
一瞬で5050をだして先生をびっくりさせたようです。
まあ、先生じゃなくてもびっくりですけど。

それはそうと、この公式を奇数の数列に適用するとなかなか面白い結果が得られます。
奇数の第 n 項は 2n -1 であることに注意すると、その和 S は
S = (1/2)n(1 + 2n - 1) = n^2
です。まさかの n^2 ですよ。この結果をみて高校生の私はいたく感動したのです。
…どうでもいいですか。失礼しました。
納得できない方へ…。一応。
1 = 1^2, 1 + 3 = 4 = 2^2, 1 + 3 + 5 = 9 =3^2, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2, …

56 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/27(金) 05:00:33 ID:BGeDgS52

さて、1 + 2 + … + n についてもこの公式を適用して、
それも公式として記述しておきましょう。
この数列は初項が 1, 末項が n の等差数列なので、その和 S は
S = (1/2)n(1 + n)
として得られます。

かなりのつめこみ教育ですが、ここで新しい記号を導入します。
数列（別に等差数列である必要は無い。）{ a_[n] } の第 n 項までの和 S は
S = a_[1] + a_[2] + a_[3] + … + a_[n]
とかけるわけですが、これを毎回書くのは案外面倒ですよね。そこで
この数列{ a_[n] } の第 n 項までの和 S を
S = Σ_[k = 1]^[n] a_[k]
とここではあらわします。
紙の上ではシグマ記号を大きく書いてその上と下にそれぞれ、「n」「k = 1」と書きます。
実際に書き表されている例はWikipediaなどを参照してください。
ここで a_[k] などの添え字 k は何でもよくて、
S = Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = Σ_[i = 1]^[n] a_[i] = Σ_[j = 1]^[n] a_[j]
などとかいてもかまいません。が、よく k, i, j が使われます。

57 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/27(金) 05:07:32 ID:BGeDgS52

ここまでの等差数列の公式をひとまとめにして今日は終わりにします。

数列{ a_[n] }が初項 a ,公差 d の等差数列のとき
一般項 a_[n] = a + (n-1)d　（参照>>49)

等差数列の和
Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = (1/2)n(2a + (n-1)d))
　　　　　　　　　　　= (1/2)n(a_[1] + a_[n])　（参照>>54）

具体例で覚えるべきもの
Σ_[k = 1]^[n] k = (1/2)n(n + 1)　（参照>>56),
Σ_[k = 1]^[n] (2k - 1) = n^2　　（参照>>55).

58 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/28(土) 00:49:37 ID:uOfo29mg

4 等比数列

1, 2, 4, 8, …
や
-5, 10, -20, 40, …
のような数列を観察してみると、
第 n 項に一定の数をかけると、第 (n+1) 項になっています。
上の数列は ×2 することで、下の数列は ×(-2) することで得られています。
このように隣との比、つまり商が一定の値になる数列を 等比数列 といいます。

実際に確かめてみましょう。
上の数列は、
2 / 1 = 2, 4 / 2 = 2, …
下は
10 / (-5) = -2, -20 / 10 = -2, …

等比数列において、この等しい比を 公比 とよびます。

59 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/28(土) 00:50:08 ID:uOfo29mg

等差数列のときと話の流れが一緒なので、お気づきだと思いますが、
ここからは等比数列の一般項を求めてみましょう。
{ a_[n] } を等比数列とし、その初項と公比をそれぞれ a, r とおきます。
任意の n に対して、{ a_[n] } が等比数列なので
a_[n] / a_[n-1] = r,
a_[n-1] / a_[n-2] = r,
…
a_[3] / a_[2] = r,
a_[2] / a_[1] = r,
が成り立ちます。そこで左辺どうし、右辺どうしかけ合わせてみましょう。
左辺は a_[n-1], a_[n-2], …, a_[2] が約分され、a_[n] / a_[1] となります。
右辺は r を (n-1) 回かけるので、r^(n-1) となります。
これらをあわせて
a_[n] / a_[1] = r^(n-1)
a_[1] = a （初項）なので,
a_[n] = a・r^(n-1)
が得られます。これが等比数列の一般項となります。

60 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/28(土) 00:51:08 ID:uOfo29mg

5 等比数列の和
{ a_[n] } を初項 a, 公比 r の等比数列とします。
このとき、Σ_[k = 1]^[n] a_[k]（初項から第 n 項までの和。>>56参照）はどうなるでしょうか。

ところで r = 1 のときは、a + a + … + a = na なので一瞬でけりがつきます。
なので、r ≠ 1 とします。
S = Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = Σ_[k = 1]^[n] a・r^(k-1)
　= a + a・r + a・r^2 + … + a・r^(n-2) + a・r^(n-1)
とおいて、両辺を r 倍します。すると、
r・S = Σ_[k = 1]^[n] a・r^k
　　　= a・r + a・r^2 + a・r^3 + … + a・r^(n-1) + a・r^n
辺々ひくと、右辺で a・r, a・r^2, …, a・r^(n-2), a・r^(n-1) が相殺して、
S - r・S = a - a・r^n
(1 - r)S = a・(1 - r^n)
r ≠ 1 だったので、両辺を (1 - r) で割りましょう。そうすれば
S = a・(1 - r^n) / (1 - r)
となります。こうして和が得られました。なかなか巧妙な方法ですよね。

61 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/28(土) 00:52:33 ID:uOfo29mg

見やすいように以上をまとめておきます。
数列{ a_[n] } が初項 a, 公比 r の等比数列の場合
一般項 a_[n] = a・r^(n-1)　（参照>>59)

等比数列の和
Σ_[k = 1]^[n] a_[k] = a・(1 - r^n) / (1 - r)　（r ≠ 1 のとき）
　　　　　　　　　　　= na　（r = 1 のとき）
（参照>>60）

62 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/28(土) 20:00:20 ID:hCQbbITQ

円周率 π = pi の値を計算で求めるときに、
収束が早く、よく使われる公式にMachinの公式があります。

公式:(Machinの公式)
pi / 4 = 4Arctan(1/5) - Arctan(1/239).

求め方
1 / 5 = tan(a), 1 / 239 = tan(b) とおきます。
主値をとることにすれば、
a = Arctan(1/5), b = Arctan(1/239).
よって、tan(4a -b) = 1 を示せばよいことが分かります。
そのために tan(4a) を求めます。二倍角の公式を繰り返し用いると、
tan(2a) = 2tan(a)/( 1 - tan^2(a) ) = 5 / 12,
tan(4a) = 2tan(2a)/( 1 - tan^2(2a) ) = 120 / 119
となります。これらから、
tan(4a - b) = ( tan(4a) - tan(b) )/( 1 - tan(4a)tan(b) )
　　　　　　= ( (120 / 119) - (1 / 239) )/( 1 - (120 / 119)(1 / 239) )
　　　　　　= 1.
よって示されました。

63 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 03:25:36 ID:VjqPmsko

5 階差数列

等差数列、等比数列は数列の基礎基本で、
一般項を求めることや、その和を求めることをマスターするのはあっという間だと思います。
高校レベルの数列で複雑になってくるのはこの階差数列からです。

いつものようにまずは階差数列の具体例をごらんいただきましょう。
{ a_[n] } : 1, 7, 18, 34, 55, …
この数列はどのような規則性で並んでいるでしょうか。

64 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 03:26:07 ID:VjqPmsko

等比数列にはなりそうにないですね。実際、となりあった数の比はバラバラです。
それでは、等差数列だ、と考え隣り合った数の差を求めてみます。
7 - 1 = 6, 18 - 7 = 11, 34 - 18 = 16, 55 - 34 = 21, …
つまり、
{ b_[n] } : 6, 11, 16, 21, …
ですから、差は一定ではないので、元の数列{ a_[n] }はもちろん等差数列ではありません。
しかしながら、この元の数列の隣り合った数の差の数列{ b_[n] }は、初項 6, 公差 5 の等差数列になっていますね。
この元の数列の隣り合った数の差の数列{ b_[n] }を 階差数列 と呼びます。
上の例からも分かるとおり、この b_[n] は
b_[n] = a_[n+1] - a_[n], n = 1, 2, 3, …
として定義されます。
そして、この階差数列を用いることで、元の数列の一般項が求められる場合があります。

65 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 03:26:38 ID:VjqPmsko

なぜか、というと>>49と似たような手順を踏むことで分かります。
数列{ a_[n] }に対して、その階差数列を{ b_[n] }とします。
階差数列の定義から、b_[n] = a_[n+1] - a_[n], n = 1, 2, 3, …
なので、任意の n ≧ 2 に対して
a_[n] - a_[n-1] = b_[n-1],
a_[n-1] - a_[n-2] = b_[n-2],
…
a_[3] - a_[2] = b_[2],
a_[2] - a_[1] = b_[1]
となります。>>49と同じように左辺どうし、右辺どうし足し合わせてみます。
左辺は>>49と全く一緒でa[n - 1], a[n - 2], …a_[2] が相殺して、a_[n] - a_[1]が得られます。
右辺は Σ_[k = 2]^[n] b_[k-1] があらわれます。
つまりこの右辺の和が求められるなら、
すなわち今の状況なら b_[n] が等差数列または等比数列ならば
その和は求めてあるので a_[n] = a_[1] + Σ_[k = 2]^[n] b_[k-1] として a_[n] が求められます。
注意としては、n ≧ 2 として求めたので、 n = 1 のときは保障されないということです。

66 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 03:28:35 ID:VjqPmsko

理論はこのくらいにして、実際に先ほどの例に当てはめて見ましょう。

数列{ a_[n] } : 1, 7, 18, 34, 55, …
に対してその階差数列 { b_[n] } は
{ b_[n] } : 6, 11, 16, 21, …
という初項 6, 公差 5 の等差数列なのでその一般項は b_[n] = 6 + (n - 1)・5 = 5n + 1 です。
つまり、a_[k] - a_[k-1] = 5(k-1) + 1 = 5k - 4 なので、
両辺を k = 2, 3, …, n （n ≧ 2）について足すと、
a_[n] - a_[1] = Σ_[k = 2]^[n] (5k - 4)
なので、等差数列の和の公式を利用し、整理すると、
a_[n] = 1 + (1/2)(n - 1)(5n + 2) = (n/2)(5n - 3) , n ≧ 2
となります。ところでこの式において n = 1 としてみると
a_[1] = (5/2) - (3/2) = 1
となって偶然一致しています。この偶然をもって数列{ a_[n] }の一般項は
a_[n] = (n/2)(5n - 3)
と結論付けることが出来るのです。
先ほどの注意のとおり、この方法で求めた a_[n] は n = 1 のときは保障されないので吟味が必要なのです。

67 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 03:29:06 ID:VjqPmsko

「見かけ上何の規則性もないように見える数列は階差数列を求めてみる」
これが高校数学の数列の技のひとつです。
階差数列の問題は奥が深くて、階差数列を1度とるだけでは分からず、
もう一度その階差数列の階差数列をとることで元の数列の一般項が分かるものもあります。
計算は数列独特のワンパターンな計算なんですが、
ひいてたして、吟味してと段階を踏むので混乱しがちです。
これは訓練を繰り返すことで慣れていくしかないと思います。

68 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 03:39:53 ID:VjqPmsko

今後の予定
6 数列の和が与えられている場合の一般項
7 その他の数列の一般項
7.1 部分分数分解
7.2 一般項が(等差)・(等比)となっているときの和
8 漸化式
8.1 漸化式とは
8.2 隣接二項漸化式
8.3 隣接三項漸化式
9 数学的帰納法

69 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 19:26:47 ID:TWo79ZRI

6 数列の和が与えられている場合の一般項

今までの話は数列{ a_[n] }が与えられたとき、
その和を求めるということをしてきました。
それでは逆に、和が与えられたとき元の数列の一般項はどうやったら求められるでしょうか。

数列{ a_[n] }に対して、第 n 項までの和を S_[n]とおきます。すなわち、
S_[n] = a_[1] + a_[2] + … + a_[n-1] + a_[n] = Σ_[k = 1]^[n] a_[k].
ところで、n ≧ 2 のとき、
S_[n-1] = = a_[1] + a_[2] + … + a_[n-1] = Σ_[k = 1]^[n-1] a_[k]
なので、S_[n] と S_[n-1] の関係は
S_[n] = S_[n-1] + a_[n]
です。すなわち、S_[n] の正体がはっきりしていれば、a_[n] (n ≧ 2)は
a_[n] = S_[n] - S_[n-1]
で求められるのです。
最後に、a_[1] はどうするのかといいますと、S_[n] の置き方から、
S_[1] = a_[1]
です。これで完全に数列{ a_[n] }が求められました。

70 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/29(日) 19:27:31 ID:TWo79ZRI

例を通して確認してみましょう。数列{ a_[n] }の和{ S_[n] }が
{ S_[n] } : 1, 8, 21, 40, 65, …
で与えられているとき、数列{ a_[n] }の一般項を求めましょう。
S_[n] の規則性を調べるために、S_[n] の階差数列を求めます。
7, 13, 19, 25, …
これは、初項 7, 公差 6 の等差数列です。よって、S_[n] の一般項は
S_[n] = 1 + Σ_[k = 2]^[n] (7 + 6(k - 2)) = 3n^2 - 2n.
したがって、n ≧ 2 のとき、a_[n] は
a_[n] = (3n^2 - 2n) - (3(n - 1)^2 - 2(n - 1))
　　　=6n - 5.
また、a_[1] = S_[1] = 1 となりまして、
これは n ≧ 2 のときの一般項 a_[n] に n = 1 を代入したものに一致します。
したがって、 a_[n] = 6n - 5 となります。

71 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/30(月) 22:59:54 ID:eR2p6rQA

7 その他の数列の一般項
7.1 部分分数分解
ある特殊な分数の和については、簡単に出来る場合があります。

Σ_[k = 1]^[n] 1/(k・(k + 1))
= 1/(1・2) + 1/(2・3) + … + 1/(n・(n + 1))
= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + … + (1/n - 1/(n + 1))
=1 - (1/(n + 1))

このように分数を分数の差に分解して和を求める手法はよく使われます。
これを部分分数分解といいます。

72 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/08/30(月) 23:00:25 ID:eR2p6rQA

7.2 一般項が(等差)・(等比)となっているときの和
タイトルの意味をまず具体例で見てみましょう。

a_[n] = (3n - 2)・2^(n-1) として第 n 項までの和 S_[n] 、すなわち
S_[n] = (3・1 - 2)・1 + (3・2 - 2)・2^1 + (3・3 - 2)・2^2 + … + (3n - 2)・2^(n-1)
を求めよ。

これが問題です。どうするのかというと、等比数列の和を求めたようにしてやるのです。
まず、一般項 a_[n] が等差数列と等比数列の積であることに注目して、
等比数列側の公比を S_[n] の両辺にかけます。今回は 2 なので、
2・S_[n] = (3・1 - 2)・2 + (3・2 - 2)・2^2 + (3・3 - 2)・2^3 + … + (3n - 2)・2^n
辺々引くと、
S_[n] - 2・S_[n] = 1 + 3・(2 + 2^2 + … 2^(n-1)) - (3n - 2)・2^n
- S_[n] = 1 + 6・(2^(n-1) - 1) - (3n - 2)・2^n
よって、
S_[n] = (3n - 5)・2^n + 5
が得られました。
要約すれば、等差数列と等比数列（公比 r )の積は S_[n] - r・S_[n] を計算すればいいのです。

73 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 05:40:22 ID:IMhn2lLo

8 漸化式
数列の第 n 項が第 1, 2, …, n-1 項によって決まるようなものがある。
等差数列や等比数列もこの仲間である。なぜなら
等差数列 {a_[n]} の 初項を a, 公差を d とすると、a_[1] = a, a_[n+1] = a_[n] + d
とあらわせる。また、
等比数列 {b_[n]} の 初項を b, 公比を r とすると、b_[1] = b, b_[n+1} = r・b_[n]
とあらわせるからである。

高校レベルの話であれば、高々2、3項の簡単な漸化式しか扱いませんし、
もっといえば手計算ではその程度しか求められないと思います。

74 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 05:40:56 ID:IMhn2lLo

8.1 隣接二項漸化式
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2.
これを隣接二項漸化式といいます。
このような漸化式の一般項を求めてみようというのがこの節です。
ご覧のとおり、等比数列とも等差数列ともいいがたい形をしています。
なのでいままでのような方法では求めることは出来ません。

ここから、特性方程式を使って求める方法を紹介します。
与えられた漸化式において a_[n+1] = 3a_[n] + 2 の a_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考えます。
c = 3c +2
与えられた漸化式からこの式を辺々引いてみましょう。
a_[n+1] - c = 3a_[n] - 3c
つまりこれは、a_[n+1] - c = 3(a_[n] - c) なので、{a_[n] - c} を数列と見れば、等比数列です。
c = 3c +2 は一次方程式なので解くと、c = -1 です。
以上をまとめると、{a_[n] + 1} は初項 a_[1] + 1 = 2 + 1 = 3, 公比 3 の等比数列です。
等比数列の一般項は a_[n] + 1 = 3・3^(n-1) = 3^n であり、これより元の数列の一般項が
a_[n] = 3^n - 1 として得られます。

…まあ、知らなければ解けない方法ですね。逆に知っていれば一撃です。

75 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 06:10:04 ID:IMhn2lLo

はみ出し - 隣接二項漸化式〜こんなときどうする？〜
1)
数列 {a_[n]} が次のようにあたえられているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2^n.
このときは、両辺を2^(n+1)で割ってみれば、
(a_[n+1] / 2^(n+1)) = (3/2)(a_[n] / 2^n) + (1/2)
なので、b_[n] = a_[n] / 2^n とおくと、
b_[1] = a_[1] / 2 = 1, b_[n+1] = (3/2)b_[n] + (1/2)
これは>>74の形なので解けます。

2)
数列 {a_[n]} が次のようにあたえられているとします。
a_[1] = 2, a_[n+1] = 3a_[n] + 2n + 5.
これは a_[n+1] = 3a_[n] + 2n + 5 の番号を一つ次にずらすのです。
a_[n+2] = 3a_[n+1] + 2(n+1) + 5
辺々下から上を引きましょう。
a_[n+2] - a_[n-1] = 3(a_[n+1] - a_[n]) + 2
数列 {a_[n+1] - a_[n]} は>>74の形なので解けます。
一般に>>74の + 2 の部分が n に関する一次式の形であれば同様に解けます。

76 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/08(水) 06:10:36 ID:IMhn2lLo

3)
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 1/2, a_[n+1] = 2a_[n] / (a_[n] +1).
所謂分数形です。
これはa_[1] > 0 なので全ての n に対して a_[n] ≠ 0 に注意して、両辺の逆数をとりましょう。
1/a_[n+1] = (1/2)・(1 / a_[n]) +(1/2)
数列 {1/a_[n]} は>>74の形なので解けます。

4)
分数形をもうひとつ。
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 1/2, a_[n+1] = (2a_[n] + 1) / (a_[n] + 2).
この場合は>>74のようにa_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考えると、
c = (2c + 1) / (c + 2) ですがこれは c + 2 を払うと二次方程式になりますね。
二次方程式の解は 1, -1 ですが、a_[n+1] = (2a_[n] + 1) / (a_[n] + 2) の両辺から 1 を引きましょう。
すると a_[n+1] - 1= (a_[n] - 1) / (a_[n] + 2) = (a_[n] - 1) / (a_[n] - 1 + 3)
これは、a_[n] - 1 をひとかたまりにみると、3)の形なので解けます。

などなど隣接二項漸化式には色々なパターンがありますが、
基本は>>74や4)のようにa_[n+1]、a_[n] を c に変えたものを考える、
2)のように一つ次にずらして元のから引くというところでしょう。

77 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/09(木) 03:17:47 ID:kehtxu9w

8.2 隣接三項漸化式
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[2] = 3, a_[n+2] - 3a_[n+1] + 2a_[n] = 0.
このような形の漸化式を隣接三項漸化式といいます。

これを解くには次の二次方程式を考えます。
c^2 - 3c + 2 = 0
作り方は a_[n+2] を c^2 に、a_[n+1] を c に、a_[n] を 1 に変えたものです。解を求めましょう。
(c - 1 )(c - 2) = 0
c = 1, 2.
これからどうやって求めるかというと、この解から
a_[n+2] - 3a_[n+1] + 2a_[n] = 0
a_[n+2] - (1 + 2)a_[n+1] + 1・2a_[n] = 0
なので、
a_[n+2] - a_[n+1] = 2( a_[n+1] - a_[n] ) ,
および
a_[n+2] - 2a_[n+1] = a_[n+1] - 2a_[n] ,
と二通り変形できることに着目します。
上の式は数列 { a_[n+1] - a_[n] } が初項 1, 公比 2の等比数列なので一般項は、a_[n+1] - a_[n] = 2^(n-1).
下の式は数列 { a_[n+1] - 2a_[n] } が初項 -1, 公比 1の等比数列なので一般項は、a_[n+1] - 2a_[n] = -1.
上から下を引くと、a_[n] = 2^(n-1) + 1 なので一般項が求められます。

まとめると、与えられた漸化式から作り出した二次方程式の解が、
異なる二つの解であれば式を変形して二通りの等比数列を作ればよいのです。

78 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/09(木) 03:18:47 ID:kehtxu9w

では、二次方程式の解がひとつの場合にはどうするのでしょうか。
具体例で考えてみましょう。
数列 {a_[n]} が次のようにあらわされているとします。
a_[1] = 2, a_[2] = 3, a_[n+2] - 6a_[n+1] +9a_[n] = 0.

c^2 - 6c + 9 =0 は c = 3 で重解なので与えられた漸化式は
a_[n+2] - 3a_[n+1] = 3(a_[n+1] - 3a_[n])
とだけ変形できます。
これは数列 { a_[n+1] - 3a_[n] } が初項 -3, 公比 3 の等比数列ということがわかるので、
一般項が　a_[n+1] - 3a_[n] = (-3)・3^(n-1) であらわせることを意味します。
ところで、この形は>>75の1)の形、すなわち隣接二項漸化式です。
よって両辺を 3^(n+1) で割ると>>74の形なので解けます。

実はこの節の最初で取り扱った漸化式もこの方法で解けます。
このように二次方程式を立ててから解くタイプの問題は、
隣接二項漸化式に帰着可能なので>>74-76のいずれかで解けます。

79 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/09(木) 03:46:35 ID:kehtxu9w

9 数学的帰納法
全ての自然数 n に対して
1 + 2 + 3 + … + n = (1/2)n(n + 1)
ということを等差数列の和の公式から導きました。（>>56参照）

それではこの公式を使わずに証明するにはどうすればいいでしょうか。
ひとつの方法として数学的帰納法を用いる方法があります。

数学的帰納法とは…
自然数 n についての命題 P(n) が与えられたとします。
1) P(1) で成立する,
2) P(k) で成立すると仮定すると、P(k+1) で成立する
この二段が示されたとすると全ての自然数で成立することが示されます。
なぜなら P(1) で成立するので、2)によって P(2) で成立します。
P(2) で成立するので、2)によって P(3) で成立します。
P(3) で成立するので、2)によって P(4) で成立します。
…これが延々と全ての自然数でいえることから、全ての自然数で成立することがわかるのです。
学校ではドミノ倒しのように…などといわれる話です。

80 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/09(木) 03:47:08 ID:kehtxu9w

早速、1 + 2 + 3 + … + n = (1/2)n(n + 1) を示してみましょう。
（証明）
左辺を S_[n] とおきます。
1)
n = 1 のときは、S_[1] = 1 であり、右辺は (1/2)・1・(1 + 1) = 1 なので成り立っています。
2)
n = k のとき、S_[k] = (1/2)k(k + 1) が成り立つと仮定します。
n = k+1 のときは
S_[k+1] = 1 + 2 + 3 + … + k + (k+1)　（左辺をそのまま書き下した）
　　　　　= S_[k] + (k+1)　（S_[k] = 1 + 2 + 3 + … + k に着目した）
　　　　　= (1/2)k(k + 1) + (k+1)　（数学的帰納法の仮定）
　　　　　= (k+1)( (1/2)k + 1 )　（ (k+1) でくくった）
　　　　　= (1/2)(k + 1)(k + 2)
これは S_[n] = (1/2)n(n + 1) の n に k+1 を代入したものになっています。
つまり n = k + 1 で成立することが分かります。
以上1)、2)によって全ての自然数で成立することが示されました。　■

81 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/09/09(木) 04:06:45 ID:kehtxu9w

これにて数列の話はおしまいです。

前にも書いたとおり、手計算できるレベルの数列は大体これで尽くされています。

この章は公式を覚えるということはほとんど無く、
計算の過程を手を動かして理解していくことが大切だと思います。

数列は具体的な項から、一般項を予測したり、
漸化式で計算の楽しさを味わうのに非常にいい題材だと考えますので、
楽しみながら学んで欲しいと思います。

82 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/10/15(金) 01:36:24 ID:9BZ8e5uY

瞑想期間を経て復活。
思いのほか期間が開いたのは、私の体調によっているせいです。

83 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/10/26(火) 01:42:07 ID:GcOWwVTw

ETV高校講座数学始まり始まり。
今日は整式ということです。

整式ってあれですよ。
x + 1 とか 3a^2 + a + 5 みたいなやつ全体のことですよ。

84 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/10/26(火) 01:52:04 ID:GcOWwVTw

中学校の復習から入っているので、
特段書くことはありません。

問題2
1)-7b^3c^2
2)ab/9

85 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/10/26(火) 01:57:10 ID:GcOWwVTw

文字の利用です。
上のほうでやった数列等でも散々やっているので取り上げません。

問題3
1)V = a^3 (cm^3)
2)1000 - 3b (円)

86 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/10/26(火) 02:04:07 ID:GcOWwVTw

整式の話ですねー。

次数と係数はよく文章を見ないと間違えますね。

例えば、単項式 5(x^4)(y^3)(z^2) について
1)この単項式の次数
この場合は全ての文字についての積の個数なので 9 .
2) x についてみたときの係数
x のみを主人公にするので 5(y^3)(z^2) .

などなど。何が主人公かを見極めねばなりません。
まあ、これは言葉の問題ですし、高校レベルで多変数関数を取り扱うことは少ないので、
この単元のみで問題になる話のような気がします。

87 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/10/26(火) 02:06:13 ID:GcOWwVTw

問題5
1) 1
2) 2
3) 3

ということで。

88 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/11/10(水) 04:27:09 ID:EMcYrVyk

代数学が苦手で苦手で仕方がないのですが、
なんとなく一般論はやっておきたい気分です。
>>22の続きから。

89 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/11/26(金) 02:18:30 ID:eAagI+ko

ETVで自然数の倍数の判定をやっているので、
私もやってみることにする。

2の倍数:下1桁が2の倍数ならば2の倍数。そうでなければ2の倍数でない。
3の倍数:桁に表れている数をすべて足して、それが3の倍数なら3の倍数
4の倍数:下2桁が4の倍数ならば4の倍数。
5の倍数:下一桁が0または5。
6の倍数:2の倍数かつ3の倍数であること。
7の倍数:決定打は…
8の倍数:下3桁が8の倍数。
9の倍数:桁に表れている数をすべて足して、それが9の倍数なら9の倍数。
10の倍数:一桁目が0。
11の倍数:奇数の桁に表れている数と、偶数の桁の数をそれぞれ足したときそれらが一致すること。

90 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/11/26(金) 02:25:24 ID:eAagI+ko

証明していきます。

3の倍数（9の倍数）の判定の証明
4桁の自然数で証明するが、一般の自然数も同様に証明できる。
4桁の自然数は 1000a + 100b + 10c + d と表せる。
ここで a, b, c, d は 0 から 9 の整数で、a は 0 ではない。
1000a + 100b + 10c + d
= 999a + 99b + 9c + ( a + b + c + d )
と変形すると前の部分は9の倍数なので3の倍数。
よって a + b + c + d が3の倍数なら元の数も3の倍数であり、9の倍数なら元の数も9の倍数。
この a, b, c, d は表れている数であるから、示される。

91 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/11/26(金) 02:29:14 ID:eAagI+ko

3の倍数の判定法の例
1) 3572
3 + 5 + 7 + 2 = 17
17は3の倍数ではないので、3572は3の倍数ではない。

2) 2859
2 + 8 + 5 + 9 = 24
24は3の倍数なので、2859は3の倍数である。

92 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2010/12/02(木) 04:19:45 ID:PFdzYkuc

忘れないようにまとめ。証明はつけない。

(X, M, μ) をσ有限測度空間, f, g をその上の複素数値可測関数とする.
このとき可測関数全体の空間は C 上のベクトル空間になる.
さらに積 f・g も可測関数になる.

証明するために定理を一つ与えておく.

定理:
φ を R^2 上の連続関数とし, f, g をX上の実数値可測関数とすると,
φ ( f (x), g (x) ) は可測関数となる.

後はa, b ∈ C に対して φ (s, t) = as + bt とおくとベクトル空間であることが、
また φ (s, t) = st とおくと積も入っていることがわかる。
後者の積は厳密には実数だが、f・g の実部と虚部が可測関数であることを見ればよいのでこれで十分である。

93 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/01/27(木) 03:08:24 ID:4wvV6KE2

ある定理を調べて出てきたページが、
高木貞治の解析概論にそっくりだなーって思ってたら
どうやら著作権切れに合わせて、
Wikisourceが本当に解析概論を電子化していたようだ。

これは便利だ。

94 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/02/11(金) 22:42:37 ID:XgmbXadM

>>93の解析概論は打ち込み終わってますね。早い。

こっちに書き込んでいる暇が無いのが無念です。
いや、暇を作るのは自分の力しだいでしょうから、
書き込めるように頑張ります。

95 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/02/14(月) 02:18:29 ID:039Hk0ss

R上の実数値関数 f について,
・任意の実数 x に対して, f (x) = f(-x) が成り立つとき f を偶関数という.
・任意の実数 x に対して, f (-x) = -f(x) が成り立つとき f を奇関数という.

例
n を自然数とする.
x^(2n-1) は奇関数, x^(2n) は偶関数.
sin(nx) は奇関数, cos(nx) は偶関数.

ここで一つ,すぐに分かる命題を載せておく.

命題:
奇（偶）関数と奇（偶）関数の積は偶関数であり,奇関数と偶関数の積は奇関数である.
∵)
前半を示す.偶関数同士の積の場合は明らか. f, g を奇関数とする. このとき
f (-x) g (-x) = ( -f (x) ) ( -g (x) ) = f (x ) g (x).よって示される.
後半も明らかである. ■

96 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/03/11(金) 09:07:25 ID:kYGwLg56

教科書の意味がわからな過ぎて、
7時間悩み続け、それが今解決したことをここに記す。

97 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/04/21(木) 22:19:41 ID:j0dNSHNg

地震直前のこんがらがった頭が、
この書き込みにつながったわけです。

何を悩んでいたのか、それが問題ですが。

98 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/05/25(水) 02:18:51 ID:5lHtHyco

積分との付き合いは高校2年生のときに始まり、
理系の場合、それからずっと付き合っていくことになる。

初めて習う積分はRiemann積分の特殊な例に過ぎない。
そこから、大学へ入学すると本格的な積分に入っていくことになり、
一般のRiemann積分の定義、広義Riemann積分、最後はLebesgue積分に進むことになる。

さて、Lebesgue積分によって、Riemann積分可能な関数は
すべてLebesgue積分可能ということが分かる上に、
より多くの関数がLebesugue積分可能になることが分かる。
しかしながら、一次元の広義Riemann積分可能なものの中には、
Lebesugue積分可能でないものが存在する。
したがって、それらだけは広義Riemann積分のままで考えるのがよく、
それ以外は全てLebesgue積分と思うと積分の幅を広げられる。

99 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/05/25(水) 02:23:03 ID:5lHtHyco

∫_(0, ∞) sin(x) / x dx
は広義Riemann積分可能だが、Lebesgue積分可能でない。

広義Riemann積分可能であることは、
a_n = ∫_(0, n) sin(x) / x dx , n ∈ N
とおくと、これがCauchy列ということが分かるからである。

Lebesgue積分可能でないのは、
∫_(0, ∞) |sin(x)| / x dx
が発散するからである。

100 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/05/25(水) 02:40:33 ID:5lHtHyco

それでは、広義Riemann積分にはLebesgue積分は対応できないか、
ということになるが、実は可能である。

上の ∫_(0, ∞) sin(x) / x dx についても以下のようにすれば計算可能である。

f (t) = ∫_(0, ∞) e^(-tx) sin(x) / x dx , t > 0
とおく。e^(-tx) が [0, ∞) 上Lebesgue積分可能であることと、
sin(x) / x が (0, ∞) 上有界であることから、f は各 t に対して定義される。
両辺を t で微分し、右辺において微分と積分を交換して（Lebesgueの収束定理よりこれは可能）、
f' (t) = -∫_(0, ∞) e^(-tx) sin(x) dx
右辺において部分積分を繰り返すと、f' (t) = -1/(1 + t^2) ,
両辺 t で積分して、f (t) = -Arctan(t) + C（定数）.
t → ∞ とすると、f のおき方とLebesgueの収束定理から f (t) → 0.
一方、Arctan(t) → π/2 なので C = π/2.
最後に t → +0 とすると、再びLebesgueの収束定理より
f (t) → ∫_(0, ∞) sin(x) / x dx かつ Arctan(t) → 0
なので、∫_(0, ∞) sin(x) / x dx = π/2.

101 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/05/25(水) 02:51:59 ID:5lHtHyco

このようにして、広義Riemann積分も、
Lebesgue積分可能な関数の極限として求めることができる。

ちなみにこの ∫_(0, ∞) sin(x) / x dx には他にも、
関数論の留数を用いる方法や、Fourier変換の理論を使う方法によっても計算できる。

102 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/05/28(土) 03:17:32 ID:zTkbOEJY

上のほうで群論の話がまだ途中なのですが、
関数論をちょこちょこと書いていこうと思います。
流れはCauchyの積分定理から留数定理、そして解析接続へと行ければと思っています。

103 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/05/28(土) 03:35:43 ID:zTkbOEJY

以下では曲線は長さを持つものとする。
曲線が単純とは、交わりを持たないということである.
閉曲線とは、始点と終点が一致している曲線のことである.

つまり、閉曲線はわっかなどの閉じた曲線のこと。

f が領域 Ω ⊂ C (この C は複素平面)で正則であるとは,
lim_[z → a] ( f (z) - f (a) ) / (z - a) = f' (a)
が全ての a ∈ Ω で成立することとする.

つまり、これは R 上の関数の微分可能性と形式的には変わらない。

また曲線 C ⊂ Ω と, Ω で正則な関数に対しその積分を
∫_C f (z) dz = lim_[ |Δ| → 0] �� f (ζ_i) (z_i - z_(i-1) )
と定義する.ここで |Δ| は C 上の点 z_1, z_2, …, z_n を分点とし,
その分点の長さの最大とする.また ζ_i は z_(i-1) から z_i の C 上の任意の点である.

これも R 上のRiemann積分の定義とほとんど変わらない。

104 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/05/28(土) 03:36:14 ID:zTkbOEJY

次の定理が成立する.
定理:(Cauchyの積分定理)
Ω を複素平面 C 内の領域とし,関数 f を Ω 上正則とする.
このとき,単純閉曲線 C ⊂ Ω であれば ∫_C f (z) dz = 0 となる.

この定理が関数論を形作る大定理である。

証明は、単純閉曲線 C は仮定より長さを持つとしていたので、
折れ線近似でき、さらにそれは三角形分割可能であることを使う。
これより、任意の三角形に対して定理が成り立つことを言えば十分となる。
肝は三角形を帰納的に構成し、区間縮小法に持ち込むことにある。

105 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/06/11(土) 22:13:45 ID:xuzCTw9k

Hausdorff-Youngの不等式の証明の本質はなんなんだろう。
肩に乗る冪がトリッキーで、いつも一人じゃ証明できない。

106 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/06/12(日) 17:02:10 ID:OdmetsMo

境界が単純な閉曲線である領域を考える。
この閉曲線が正の向きというのは、
領域を左に見ながら進む向きのことをいう。

ところでこの曲線をパラメータ付け、それを t としたとき、
この向きって t が増加する方向になっている？

107 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/06/12(日) 17:17:07 ID:OdmetsMo

>>103の積分の定義はこう定義するほうが自然である。
曲線 C が z : [0, 1] → C でパラメータ付けされているとする。
このとき
∫_C f (z) dz = ∫_[0, 1] f ( z(t) ) z'(t) dt
と定義する。

108 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/06/12(日) 17:21:25 ID:OdmetsMo

次を示そう。
曲線 C は始点が α, 終点が β とする。
∫_C dz = β - α ,
∫_C z dz = (1/2)(β^2 - α^2) ,
∫_C z^2 dz = (1/3)(β^3 - α^3).
つまりこれらの積分は始点と終点のみで値が決まる。

109 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/06/12(日) 17:34:25 ID:OdmetsMo

曲線 C を>>107でパラメータ付けする。
∫_C dz = β - α を示す。
R[ f, Δ, ξ ]
= Σ_[i = 1, n] (z(t_i) - z(t_(i-1)))
= z(t_n) - z(t_0)
= β - α.

∫_C z dz = (1/2)(β^2 - α^2)を示す。
ξ ,ξ'（閉区間 [0, 1] の分点）をそれぞれ ξ = {t_(i-1)}, ξ' = {t_i} ととる。
ここで i = 1, 2, …, n と動く。
R[ f, Δ, ξ ] + R[ f, Δ, ξ' ]
= Σ_[i = 1, n] ( z( t_i ) + z( t_(i-1) ) )( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
= Σ_[i = 1, n] ( z( t_i )^2 - z( t_(i-1) )^2 )
=β^2 - α^2
よって、|Δ| → 0 （分割Δの最大の小区間の幅を0に近づける）とすると、
2 ∫_C z dz = β^2 - α^2

110 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/06/12(日) 17:47:01 ID:OdmetsMo

∫_C z^2 dz = (1/3)(β^3 - α^3) を示して今日は終わりにする。

∫_C z dz のときと同じように、分点 ξ, ξ', ξ'' を上手くとる。
ξ = {t_(i-1)}, ξ' = {t_i} は上と同様にとる。
ξ'' = {t'_i} を z(t'_i) = (z( t_(i-1) ) + z( t_i ) )/2
となるようにとる。
4R[ f, Δ, ξ'' ]
= Σ_[i = 1, n] (z( t_(i-1) ) + z( t_i ) )^2 ( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
= Σ_[i = 1, n] (z( t_(i-1) )^2 + 2 z( t_(i-1) ) z( t_i ) + z( t_i )^2 )( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
これに注意すると、
R[ f, Δ, ξ ] + R[ f, Δ, ξ' ] + 4R[ f, Δ, ξ'' ]
= Σ_[i = 1, n] 2(z( t_(i-1) )^2 + z( t_(i-1) ) z( t_i ) + z( t_i )^2 ) ( z( t_i ) - z( t_(i-1) ) )
=2Σ_[i = 1, n] ( z( t_i ) ^3- z( t_(i-1) )^3 )
=2(β^3 - α^3)
よって、|Δ| → 0 とすると、6∫_C z^2 dz = 2(β^3 - α^3) が分かり示される。

111 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/06/20(月) 04:24:41 ID:BE2KvszM

非斉次のn階線形常微分方程式の解き方を近いうちにfollowしましょう。

112 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/07/01(金) 23:13:40 ID:8whMn6BU

>>111を忘れてた。今晩中に。
関数論も先に進めたいところですね。

113 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/07/02(土) 00:28:00 ID:kt3aICwI

サイエンス0でRSA暗号をやっていたので、
私の復習のために書いてみることにする。

1st step:鍵をつくる
1)「巨大」な素数 p, q を用意し、
n := pq とおくと φ(n) = (p - 1)(q - 1) （オイラー関数）である。
2)φ(n) と最大公約数が 1 になる自然数 e をえらぶ。
3) de ≡ 1 (mod φ(n))となる d をえらぶ。
4)(e, n) は公開し、(p, q, d) を秘密にする。

2nd step:情報のやりとり
鍵を作り(e, n)を公開したAさん と 情報 M(自然数)を伝えたいBさんがいたとする。
Bさんは公開鍵を元に C ≡ M^e (mod n) をAさんに送ってやる。

3rd step:復元
Aさんは送られてきた C について C^d ≡ M (mod n) で復元する。
復元可能の根拠はオイラーの定理である。

114 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/07/02(土) 00:55:46 ID:kt3aICwI

定理:(オイラーの定理)
x^φ(n) ≡ 1 (mod n)
が成立する。ここで n は自然数、x は n との最大公約数 1 となる数。

115 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/07/03(日) 16:59:09 ID:qqWu0c7+

夜じゃないのに数学。

(X,O(X)), (Y,O(Y)) : 位相空間
写像 f : X → Y が連続とは, 任意の G ∈ O(Y) に対して f ^(-1)(G) ∈ O(X) となること.
すなわち,開集合の逆像が開集合となること.

ところで, R^n の領域 Ω とその上の実数値関数 f に対しても連続という概念はある.
x ∈ Ω で f が連続とは,任意の ε > 0 に対して, ある δ > 0 が存在して
| f (x) - f (y) | < ε , for || x - y || < δ が成立すること.

R^n の開集合という概念はあるので R^n に制限すると,上と下は同値なはず.

116 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/07/03(日) 22:06:08 ID:qqWu0c7+

下の連続の定義について,訂正と補足をします.
・3行目 for 以下に, y ∈ Ω を追加.
・Ω の任意の点で f が連続であるとき,f は Ω 上連続という.
上でいっている同値になるというのはこの追加したもの.

117 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/07/04(月) 23:55:22 ID:IjWB7Dfo

(上)⇒(下)
x ∈ Ω, ε > 0 を任意にとる.
{ y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } は開集合.
ここで集合 f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } ) に x は属し,
また仮定によりこの集合は開集合となるから,
ある δ > 0 が存在して
　{ y ∈ Ω | || x - y || < δ } ⊂ f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } )
が成立する.後は
　 f^(-1) ( { y~ ∈ R | | f (x) - y~ | < ε } ) = { y ∈ Ω | | f (x) - f (y) | < ε }
から従う.

118 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/07/29(金) 03:41:36 ID:Zv1QTAkw

無理数と無理数の和は無理数か？
偽. 2 - sqrt(2) + sqrt(2) = 2.

無理数と有理数の積は無理数か？
偽. sqrt(2) ・ 0 = 0.

無理数の無理数乗は無理数か？
偽.
まず, log_[2] 3 は無理数である.
そうではないと仮定すると有理数なので
log_[2] 3 = p/q, ただし p は整数, q は自然数とかける.
これより 2^p = 3^q. これは素因数分解の一意性に反する.よって log_[2] 3 は無理数.
さらに, 2log_[2] 3 = log_[sqrt(2)] 3 も無理数になる.
これを無理数である sqrt(2) に乗すると, sqrt(2) ^ ( log_[sqrt(2)] 3 ) = 3.
すなわち無理数の無理数乗で有理数になるものが存在する.

119 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/08/08(月) 21:42:44 ID:1VQ85AO2

世の中は統計学に興味があるのか？

120 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/08/16(火) 15:47:13 ID:rYdFicIo

無限遠方で 0 に収束する連続関数全体を C_0 (R^n) と書く.
急減少関数空間を S(R^n) と書く.

C_0(R^n) は L^1 (R^n) に含まれない.
反例は 1/|x| など.
さて、S(R^n) ⊂ C_0 (R^n) だが、S(R^n) ⊂ L^1 (R^n) だろうか？

121 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/08/16(火) 16:15:14 ID:rYdFicIo

>>120訂正.反例は χ_[1, ∞) (|x|) / |x| .
書き込んだ途端に解けたので.

S(R^n) ⊂ L^1 (R^n) である.
任意の f ∈ S(R^n) をとる.急減少関数なので、
|x|^2(n+1) |u(x)| ≦ M, for any x ∈ R^n
となる M が存在する.
さらに,必要なら M を取り直して
|u(x)| ≦ M for any x ∈ B(O;1) とできる.
∫_R^n |u(x)| dm(x)
= ∫_ B(O;1) |u(x)| dm(x) + ∫_( R^n - B(O;1) ) |u(x)| dm(x)
≦ M m( B(O;1) ) + M ∫_( R^n - B(O;1) ) 1/|x|^2(n+1) dm(x)
ここで先の注意を用いた.

122 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/08/16(火) 16:16:11 ID:rYdFicIo

後は
∫_( R^n - B(O;1) ) 1/|x|^2(n+1) dm(x)
= ∫_[1, ∞) (∫_∂B(O;r) 1/r^2(n+1) dσ(ω))dr
= n m(B(O;1)) /(n+2) ≦ m( B(O;1) )
により ||u||_L^1(R^n) ≦ 2M m( B(O;1) ) が分かったので示された.

注意
・|x|^2(n+1) |u(x)| ≦ M の指数 2(n+1) は
|x|^2(n+1)が多項式になりかつ最後の積分を有限にするという二つの目的の為である.

123 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/08/16(火) 16:23:47 ID:rYdFicIo

これで分かったことは急減少関数空間は
・S (R^n) ⊂ L^1 (R^n) ∩ L^∞ (R^n) なので,
S (R^n) ⊂ L^p (R^n) for any p ∈ [1, ∞].
・更に仮定により S (R^n) ⊂ C^∞ (R^n).
という急減少というイメージどおりの"よい"関数の空間であることが分かった。

124 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/08/16(火) 16:48:56 ID:rYdFicIo

指数は 2n で十分でした…。
まさにオーバーキルですがスルーしてください。

125 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/08/30(火) 22:03:42 ID:H6Samc9k

本は継続して読んでいますが、また面白い話の前に飽きてしまいそうです。
高速で読んでいかないと…。

126 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/12/10(土) 00:42:11 ID:4q8APGcI

数学スレ復活。
ここでしかできない話が纏められればいいなと思う。

127 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/12/10(土) 00:44:06 ID:4q8APGcI

上で書いてあることへの不満。
急減少関数空間は、空間といっているが、
位相を何も明記していないので、本当に空間か確かめようがない。
急減少関数空間を出したのなら、緩増加超関数空間も出せばいいだろう。

128 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/12/24(土) 16:50:55 ID:rGFCRje+

順序数について．
ord( N ) = ω とおく．このとき，順序数は以下のように並ぶ．
1, 2, 3, …, ω, ω + 1, ω + 2, …, ω + ω = ω2, ω2 +1, …, ω3,
…, ωω = ω^2, (ω^2) + 1…, (ω^2)2, …, ω^3, …, ω^ω, ω^(ω) + 1,
…, ω^(ω + 1), …, ω^(ω2), …, ω^(ω^2), …, ω^(ω^3), …, ω^(ω^ω),
…, ω^(ω^(ω^ω)), …, ω^(ω^(ω^(ω^(…))) = ε_0, …
このように順序数はいくらでも続く．すなわち，最大の番号などというのは存在しない．

注意を述べる．
ω2 と 2ω は異なる．順序数の定義により前者は ω + ω と等しく，後者は ω に等しいからである．

129 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2011/12/24(土) 17:07:29 ID:rGFCRje+

任意の関数 f は偶関数と奇関数（>>95参照）に分解できる．
∵)
f(x) = {f(x) + f(-x)}/2 + {f(x) - f(-x)}/2
とする．第一項は偶関数，第二項は奇関数である．■

130 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2014/05/25(日) 21:07:11 ID:E3v8hIax

>>128の順序数について．
そもそも順序数って何だよ、忘れたよ．定義書いておけよといいたい．

久々にこのスレも復活です．不死鳥のように．
まあ，不死鳥といいながら半分死んでいましたが．

131 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/02/16(火) 00:26:46 ID:gB1riJPo0

今から約15年前、私は中学生。
時間は数学の授業中、作図の話。
定規とコンパスを使って角の二等分線を描く練習中。
先生がこんなことをいったのです。
「もし○○（クラスメートの名前）が角の三等分線の描き方を見つけたら、
私はこっそり教えてもらってそれを発表して、一生遊んで暮らすんだ」と。
それはつまり三等分線の作図は不可能であることをいっているのです。
しかし、その証明は…。教えてもらえませんでした。

時は流れて今。
その証明がようやく分かりました。
大学にいたときに勉強していてもよかったと思える内容でした。

132 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/02/16(火) 00:45:47 ID:gB1riJPo0

>>130への呼びかけ

順序集合全体のあつまりには順序同型写像が定義できる。
順序を保つ写像で全単射のことである。
この意味で同型関係で同値関係が定義できるので、
厳密に言えば集合かどうか微妙なこのあつまりを類別する。
このときの「同値類」らしきものを順序型という。
その上、整列集合の順序型を順序数という。

133 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/02/16(火) 00:49:46 ID:gB1riJPo0

和の定義は、空でなく共通部分をもたない整列集合AとBに対して，
Aの元同士、Bの元同士にはそのままの順序をつけて、
AとBの元にはBの方が大きいという順序をつけるとこれは新しい整列集合になる。
この意味でこのA∪Bの順序数をAとBの和と決める。

積の定義は直積A×Bの元(a, b)と(a', b')に次のように順序をいれる。
１）b < b' であれば問答無用で(a', b')が大きい。
２）b = b' であれば a と a' の大きいほうが大きい。
これで直積は整列集合になっている。これを積の順序数の定義とする。

134 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/02/16(火) 00:58:11 ID:gB1riJPo0

うやうやしい「注意」の部分。

ω2 は N×{ 0, 1 } を代表元と考えればよい。
順序は次のとおり。
(1, 0) < ( 2, 0 ) < ( 3, 0 ) < …< ( 1, 1 ) < ( 2, 1 ) < ( 3, 1 ) < …
第2成分が0ならば1には絶対かなわない。
これは、N ∪ N （←別々の集合と思った）の順序数ω+ωに等しい。

2ω は { 0, 1 }×N を代表元と見ればよい。
順序は次のとおり。
(0, 1) < (1, 1) < ( 0, 2 ) < ( 1, 2 ) < …
この一直線の並び方は自然数の順序に等しい。つまり順序数はω。

135 ：んちう：2016/02/18(木) 20:52:23 ID:zXRPcTPeO

ももちーん！

スレ違いで申し訳ないがお願いがあります。

私の戯れ言スレ下さい〜。
突然に御免ね。

記録したい事が出来たの。

136 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/02/28(日) 21:47:18 ID:g61JdF740

>>135
すっかりおそくなってしまいました。すみません。

んちうさんの戯れ言スレ
http://bbs41.s37.xrea.com/test/read.cgi/415esgogo/1456663586/

137 ：んちう：2016/03/06(日) 11:36:38 ID:4KICkQDDO

>>136

ありがとうございました。m(__)m

詳細は私のスレで〜(@ﾟ▽ﾟ@)

感謝感謝感謝

138 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/03/17(木) 23:37:38 ID:mPM7aenT0

ユークリッド整域ならば単項イデアル整域である。
単項イデアル整域ならば一意分解整域である。
よってユークリッド整域ならば一意分解整である。

よくやるのはこの流れなのだが、端から最後を証明したい。

139 ：んちう：2016/03/30(水) 11:30:37 ID:XDG9GR61O

ももちん…やっぱりすげえな。


アホだからちんぷんかんぷんだわ。(´Д｀)

140 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/03/30(水) 23:34:05 ID:O4sVWnzS0

>>139
馬鹿だからこそこんなことしかできないのです…

というわけで、今宵は上記課題に挑んでみようと思う。

141 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/03/30(水) 23:48:11 ID:O4sVWnzS0

ユークリッド整域とは整数の性質を一般化したものである。

つまり、整域 R（「ab=0」ならば「a=0 または b=0」が成り立つ可換環）で、
ノルム N : Rー{0} → N(自然数の集合）が定義されているとする。
このとき次の２条件を満たすとき R をユークリッド整域という。
１）割り算の原理が成り立つ。すなわち，a, b ∈ Rー{0} ならば
a = b q + r および 0 < N(r) < N(b) が成り立つ q, r ∈ R が存在する。
２）a, b ∈ Rー{0} に対して，N(a) < N(ab) が成り立つ。

一意分解整域とは零元でも単元でもない元が素元の積の形に一意的に書けることをいう。

142 ：鷹：2016/03/31(木) 18:18:51 ID:MZUNJYLS0

すいません、√の計算すらままならない私が通りますよｗ

143 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/04(月) 21:15:34 ID:lfzhKJyd0

素元に単元がかけられていても区別できないので、
ab=cd であれば (a) = (c) かつ (b) = (d) という単項イデアルの意味で一意的であると解釈する。

144 ：鷹：2016/04/09(土) 17:46:44 ID:q/RDzi9H0

ももたん今度私に√の計算方法教えて下さい。
転職活動中で一般常識問題で出てくる時もあるので…
自分頭悪いのでさっぱりわかりません。

145 ：んちう：2016/04/09(土) 18:02:35 ID:NLOf8C3EO

ももちんがﾄﾗｲさんになって


鷹さんがハイジの様に教わればいんでないかなぁ。


んで踊る。

146 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 21:05:46 ID:6Www6SwZ0

>>144
お、そうですか！
では僭越ながら√の話、少しお話させていただきますね…
文章に難のある私ですので、不明な点は逐一レスください！

>>145
アルプス一万尺　こやりの上で…♪
ってな具合ですね。

147 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 21:08:31 ID:6Www6SwZ0

√を理解するための道を最初に記しておきます。
１．√はなぜ必要なのか？
２．√の性質は何か？
３．性質を利用して計算
こんな感じです。

148 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 21:27:23 ID:6Www6SwZ0

１．ルートはなぜ必要か
まずルートが登場することになった理由を説明します。
…ほとんど自己満足なので読み飛ばしてください。

この図を見てください。
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410212115.jpg

左側は１辺の長さが１の正方形です。右側は１辺の長さが２の正方形です。
辺の長さが２倍になっているわけです。
ではこの２つの正方形の面積を求めてみましょう。

正方形の面積の求め方は１辺の２乗で求められます。
つまり
（左側の正方形の面積）= 1 × 1 = 1
（右側の正方形の面積）＝ 2 × 2 = 4
となります。

なりますが、これは少し納得がいかないところがありませんか？

149 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 21:34:25 ID:6Www6SwZ0

いや…別に…というのがごく普通の反応です。
しかし一部の数学好きの人からすると、このような疑問がわくわけです。

「このように辺の長さが１、２、３…となると、
　それにともなって正方形の面積は１、４、９…となるだろう。
　ということは面積が２、３、５、６…という正方形は存在しないということか…？」

自然な疑問だと思いませんか？…思いませんか。そうですよね。
でも辺の長さは１、２、３…と順番にできるのだから、
面積が１、４、９…というような飛び石のようにしか現れないのは少し残念ではありませんか？

150 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 21:43:50 ID:6Www6SwZ0

本当に面積が２、３、５、６…という正方形は存在しないのでしょうか。
それを確かめるために、今から計算で実証してみましょう。

どうやって？と思った方もいると思いますが実は簡単です。

例えば面積が２の正方形がありうるか否かを考えます。
正方形の面積は（１辺の長さ）×（１辺の長さ）＝（１辺の長さ）^2 （２乗という意味です）
なのですから（１辺の長さ）^2＝２ となるような１辺の長さがあれば、
面積が２の正方形があるということになります。
つまり、「２乗して２となる数があるか？」という問題を考えればよいということになります。

151 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 21:47:59 ID:6Www6SwZ0

実験していきます。
1 ^ 2 = 1
1.1^2 = 1.21
1.2^2 = 1.44
1.3^2 = 1.69
1.4^2 = 1.96 ←
1.5^2 = 2.25 ←
1.6^2 = 2.56
1.7^2 = 2.89
1.8^2 = 3.24
1.9^2 = 3.61
2^2 = 4

この結果を見ると、「２乗して２となる数」は、1.4 と 1.5 の間にあると思われます。

152 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 21:56:10 ID:6Www6SwZ0

さらに実験すると
1.40^2 = 1.96
1.41^2 = 1.9881 ←
1.42^2 = 2.0164 ←
…

というわけで、「２乗して２となる数」は 1.41 と 1.42 の間にありそうです。
この実験をずっと続けていくと、ぴったりとその数をもとめることはできませんが、

1.414213562373095…

という数になることが分かります。つまり
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410215410.jpg
という正方形の面積は２であることが分かったのです。

ネット上ではこのように文章でしか書けませんが、
こうして面積が２の正方形が確かに存在するという喜びに、私は心のそこから感動しています。

153 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 22:24:04 ID:6Www6SwZ0

面積が２ばかりでなく、３、５、６…も同じように計算できます。
上に書いた問題はこうして克服されたわけです。

…ですが、最後に待ち構えているのは次の問題です。
いままでの結果をまとめた次の表を見てください。
面積　　辺
１　　　１
２　　　1.414213562373095…
３　　　1.732050807568877…
４　　　2
５　　　2.236067977499789…
…

辺の長さのきりのよくないところは、終わりなく右のほうへずっと続くわけです。
なかなか見にくくないですか？

154 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 22:40:31 ID:6Www6SwZ0

この問題の克服はなかなか思いつきません。それは
「見にくい？それなら新しい記号をつくればいいじゃないか！」
というコロンブスの卵のような発想です。
この「新しい記号」こそがルートなのです。
先ほどの表をルートを使って書き換えてみます。どのような書き換えか、お分かりでしょうか？

面積　　辺
１　　　√1（＝１）
２　　　√2（＝1.414213562373095… ）
３　　　√3（＝1.732050807568877…）
４　　　√4（＝2）
５　　　√5（＝2.236067977499789…）
…

いかがでしょうか。規則が分かるでしょうか。
つまり面積 x になる正方形の１辺の長さは √x と書くと約束するわけです。
こうすれば小数点以下の数を書くことから解放される上、意味もはっきりします。
また
　( √x )^2 = x
というルートの計算につながっていく非常に重要な等式も得られます。

155 ：１０７ ◆Dnhm9Q9euc ：2016/04/10(日) 22:44:58 ID:6Www6SwZ0

こうして、面積２の正方形の図
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410215410.jpg
は
http://bbs41.s37.xrea.com/upload/img-box/img20160410222834.jpg
とすっきりした図に書き換えることができるのです。
どうでしょう。
ルートのおかげで様々なわずらわしさから解放される気持ち、分かっていただけますか？

…すぐにわかる訳がない、ですか。おっしゃるとおりです。

これでルートがなぜ要るのか、は書き終わりです。